Cosinusrelation

Figuren illustrerer en trekant med hjørnepunkterne A, B og C. Længderne af de modstående sider er henholdsvis $a$ = 13, $b$ = 19 og $c$ = 11. Hvor store er de hosliggende vinkler $A$, $B$ og $C$?

Cosinusrelationerne er en række trigonometriske formler, som kan bruges til at beregne ukendte vinkler eller sider i en vilkårlig trekant. Sidernes længder betegnes traditionelt $a$, $b$ og $c$ og deres modstående vinkler for henholdsvis $A$, $B$ og $C$.

For bestemmelse af vinklerne ud fra siderne benyttes cosinusrelationerne, som vises herunder:

$\cos(A)={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}$

$\cos(B)={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}$

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}$

For bestemmelse af sider omskrives formlerne således:

${a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)}$

${b^{2}}={a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(B)}$

${c^{2}}={a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(C)}$

For en retvinklet trekant er en af vinklerne lig med 90° og dens cosinus derfor lig med 0. Disse cosinusrelationer reduceres i så fald til den klassiske Pythagoras' sætning for retvinklede trekanter, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$; de kaldes derfor også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Da en vinkel i en trekant altid har en værdi mellem 0° og 180°, er den entydigt bestemt af sin cosinus, der aftager monotont fra værdien cos(0°) = +1 til cos(180°) = −1.

Eksempler

Bestemmelse af vinkler:

Lad en trekant have sidelængderne

$a=13,\;b=19,\;c=11$

Vi finder da, at

$\cos(A)={\frac {361+121-169}{2\cdot 19\cdot 11}}={\frac {313}{418}}$	$\quad \Rightarrow \quad$	$A=\operatorname {arccos} \,\left({\frac {313}{418}}\right)$	$\approx 41.513^{\circ }$
$\cos(B)={\frac {169+121-361}{2\cdot 13\cdot 11}}=-{\frac {71}{286}}$	$\quad \Rightarrow \quad$	$B=\operatorname {arccos} \,\left(-{\frac {71}{286}}\right)$	$\approx 104.374^{\circ }$
$\cos(C)={\frac {169+361-121}{2\cdot 13\cdot 19}}={\frac {409}{494}}$	$\quad \Rightarrow \quad$	$C=\operatorname {arccos} \,\left({\frac {409}{494}}\right)$	$\approx 34.113^{\circ }$
Kontrol	${\displaystyle \quad$ :\quad }	$A+B+C$	$\approx 180.000^{\circ }$

Bestemmelse af en side:

Lad en trekant have stykkerne

$a=13,\;b=19,\;C=34^{\circ }$

Vi søger siden $c$:

${c^{2}}={169+361-2\cdot 13\cdot 19\cdot \cos(34^{\circ })}\approx 120.4554$

${c}\approx 10.975$

Beviser

Beviset falder i to dele, alt efter om vinklen er spids eller stump.

Spids vinkel, C < 90°

I den spidsvinklede trekant ABC er sidelængderne $a$, $b$ og $c$. Fra B nedfældes den vinkelrette, som skærer AC i F. Længden af højden BF betegnes $h$. Længden af FC kaldes $x$, så længden af AB bliver $b-x$.

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B. Den danner en højde i trekanten med fodpunkt F. Man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde $h$ og delstykket $x$. Vi kan nu anvende Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter:

Trekant FBC: $\quad h^{2}=a^{2}-x^{2}$

Trekant FBA: $\quad h^{2}=c^{2}-(b-x)^{2}$

Da venstresiderne er ens, er højresiderne det også:

$a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b-x)^{2}$

$a^{2}-c^{2}=x^{2}-(b-x)^{2}$

$a^{2}-c^{2}={\color {Blue}x^{2}}-b^{2}-{\color {Blue}x^{2}}+2\cdot b\cdot x$

$2\cdot b\cdot x=a^{2}+b^{2}-c^{2}\qquad$($x^{2}$ går ud!)

$x={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot b}}$

Omsider får vi

$\cos(C)={\frac {x}{a}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}$

Q.E.D.

Beviserne for de to andre vinkler følger ved simpel bogstavombytning.

Stump vinkel, C > 90°

I den stumpvinklede trekant ABC nedfældes den vinkelrette, som skærer forlængelsen af AC i F. Igen indføres to hjælpestørrelser, $h$ og $x$.

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B og man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde $h$ og delstykket $x$. danner en højde i trekanten med længde $h$ og fodpunkt F. Igen anvendes Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter:

Trekant FBC: $\quad h^{2}=a^{2}-x^{2}$

Trekant FBA: $\quad h^{2}=c^{2}-(b+x)^{2}$

Man får nu, at

$a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b+x)^{2}$

$a^{2}-c^{2}=x^{2}-(b+x)^{2}$

$a^{2}-c^{2}={\color {Blue}x^{2}}-b^{2}-{\color {Blue}x^{2}}-2\cdot b\cdot x$

$2\cdot b\cdot x=-a^{2}-b^{2}+c^{2}\qquad$($x^{2}$ går ud!)

$x=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot b}}$

Omsider får vi

$\cos(180^{\circ }-C)={\frac {x}{a}}=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}$

$\cos(C)=-\cos(180^{\circ }-C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}$

jævnfør en egenskab ved cosinus. Det er altså samme formel som ovenfor.

Q.E.D

Cosinusrelationen for sfæriske trekanter

Tre storcirkler skærer hinanden. Skæringspunkterne A, B og C danner en sfærisk trekant. De modstående sider betegnes $a$, $b$ og $c$. og de hosliggende vinkler, markeret med små buer, $A$, $B$ og $C$.

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også kaldes cosinusrelationer. De sfæriske cosinusrelationer er:

$\cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(A)$

$\cos(b)=\cos(c)\cdot \cos(a)+\sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(B)$

$\cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(C)$

Se også

• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Sinusrelationen
• Sfærisk trigonometri

Bøger

Emnet behandles i alle matematikbøger på gymnasiets A-niveau.

• Klaus Holth m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1, side 60. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3.
• Jens Carstensen, Jesper Frandsen (1997): MAT 1, side 190. Systime. ISBN 87-7783-879-3.
• Knud Erik Nielsen, Esper Fogh (2010): Vejen til matematik AB1, side 299. Forlaget Hax. ISBN 978-87-89839-37-0.

Eksterne henvisninger

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner sider og vinkler i en trekant.