Determinant

Pentru un cuvânt care precizează, vedeți Determinant (gramatică).

Nu confundați cu Discriminant.

În matematică un determinant este o funcție scalară a elementelor unei matrice pătrate. Determinantul unei matrice A se notează în mod obișnuit cu det(A), det A sau | A |. Valoarea sa caracterizează anumite proprietăți ale matricei și ale aplicației liniare reprezentate, în raport cu o bază dată, de matrice. În special, determinantul este nenul dacă și numai dacă matricea este inversabilă și aplicația liniară corespunzătoare este un izomorfism. În schimb, dacă determinantul este nul, matricea se numește singulară, ceea ce înseamnă că nu are inversă.

Determinantul este complet determinat de următoarele două proprietăți: determinantul produsului a două matrice este produsul determinanților lor, iar determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonală.

Determinantul unei matrice 2 × 2 este

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

iar determinantul unei matrice 3 × 3 este

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$

Determinantul unei matrice n × n poate fi definit în mai multe moduri echivalente, cel mai cunoscut fiind formula lui Leibniz, care exprimă determinantul ca sumă a $n!$ (factorialul lui n) produse semnate ale elementelor matricei. Poate fi calculat prin dezvoltarea Laplace, care exprimă determinantul ca o combinație liniară de determinanți ai unor submatrici, sau prin eliminarea gaussiană, care permite obținerea unei forme eșalon pe linii^⁠(d) cu același determinant, egal cu produsul elementelor de pe diagonala formei eșalon.

Determinantul poate fi definit și prin unele dintre proprietățile sale. Anume, determinantul este funcția unică definită pe matricele n × n care are următoarele patru proprietăți:

1. Determinantul matricei identitate este 1.
2. Interschimbarea a două linii înmulțește determinantul cu −1.
3. Înmulțirea unei linii cu un număr înmulțește determinantul cu acel număr.
4. Adăugarea unui multiplu al unei linii la o altă linie nu schimbă determinantul.

Proprietățile de mai sus referitoare la linii (proprietățile 2–4) pot fi înlocuite cu enunțurile corespunzătoare pentru coloane.

Determinantul este invariant la similaritatea matricilor. Aceasta implică faptul că, fiind dată o transformare aplicație liniară endomorfă^⁠(d) a unui spațiu vectorial de dimensiune finită, determinantul matricei pe care o reprezintă într-o bază nu depinde de baza aleasă. Acest lucru permite definirea determinantului unei transformări liniare endomorfe, deoarece nu depinde de alegerea unui sistem de coordonate.

Determinantul apare în multe domenii ale matematicii. De exemplu, o matrice este adesea folosită pentru a reprezenta coeficienții unui sistem de ecuații liniare, iar determinanții pot fi folosiți pentru a rezolva aceste ecuații (regula lui Cramer), deși alte metode de rezolvare sunt mult mai eficiente computațional. Determinanții sunt folosiți pentru definirea polinomului caracteristic^⁠(d) al unei matrice pătrate, ale cărui rădăcini sunt valorile proprii. În geometrie, volumul orientat de dimensiune n al unui paralelipiped n-dimensional este exprimat printr-un determinant, iar determinantul unui endomorfism liniar determină modul în care orientarea și volumul de dimensiune n sunt transformate prin acel endomorfism. Acest lucru este folosit în analiză împreună cu formele diferențiale^⁠(d) exterioare și determinantul jacobian^⁠(d), în special pentru schimbări de variabilă în integrale multiple.

Matrice de ordinul al doilea

Determinantul unei matrice 2 × 2 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ se notează fie cu „det”, fie cu bare verticale în jurul matricei și este definit astfel:

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

De exemplu:

$\det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)=-19$

Primele proprietăți

Determinantul are mai multe proprietăți esențiale care pot fi demonstrate prin evaluarea directă a definiției pentru matricele 2 × 2 și care continuă să fie valabile pentru determinanții matricilor mai mari. Ele sunt următoarele: în primul rând, determinantul matricei unitate ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ este 1.

În al doilea rând, determinantul este zero dacă două linii sunt identice:

${\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0$

Aceasta este valabil și dacă cele două coloane sunt identice. În plus,

${\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}$

În sfârșit, dacă o coloană este înmulțită cu un număr $r$ (adică toate elementele acelei coloane sunt înmulțite cu acel număr), determinantul este și el înmulțit cu acel număr:

${\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

Semnificație geometrică

Aria paralelogramului este valoarea absolută a determinantului matricei formate din vectorii care reprezintă laturile paralelogramului.

Dacă elementele matricei sunt numere reale, matricea A reprezintă transformarea liniară care aplică vectorii de bază în coloanele lui A. Imaginile vectorilor de bază formează un paralelogram care reprezintă imaginea pătratului unitate prin aplicație. Paralelogramul definit de coloanele matricei de mai sus este cel cu vârfurile la (0, 0), (a, c), (a + b, c + d), și (b, d), așa cum se arată în imagine.

Valoarea absolută a lui ad − bc este aria paralelogramului, prin urmare reprezintă factorul de scalare cu care ariile sunt transformate de A.

Valoarea absolută a determinantului, împreună cu semnul său, devine aria orientată^⁠(d) a paralelogramului. Aria orientată este aceeași cu aria obișnuită, exceptând faptul că este negativă când unghiul de la primul la al doilea vector care definește paralelogramul se parcurge în sensul acelor de ceasornic (opusă față de direcția obținută pentru matricea unitate).

Pentru a arăta că ad − bc este aria orientată, se poate considera o matrice care conține doi vectori u ≡ (a, c) și v ≡ (b, d) reprezentând laturile paralelogramului. Aria orientată poate fi exprimată ca |u| |v| sin θ pentru unghiul θ dintre vectori, ceea ce înseamnă pur și simplu baza ori înălțimea, adică lungimea unui vector înmulțită cu componenta perpendiculară a celuilalt. Datorită funcției sinus acest lucru este deja aria orientată, dar poate fi exprimat mai convenabil folosind cosinusul unghiului complementar pentru un vector perpendicular, de exemplu u^⊥ = (−c, a), astfel încât |u^⊥| |v| cos θ′ devine aria orientată în cauză, care poate fi determinată din produsul scalar și este egală cu ad − bc conform ecuațiilor următoare:

${\text{Aria orientată}}=|{\boldsymbol {u}}|\,|{\boldsymbol {v}}|\,\sin \,\theta =\left|{\boldsymbol {u}}^{\perp }\right|\,\left|{\boldsymbol {v}}\right|\,\cos \,\theta '={\begin{pmatrix}-c\\a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}=ad-bc$

Astfel, determinantul oferă factorul de scalare al ariei și orientarea generată de aplicația A. Când determinantul este egal cu unu, transformarea liniară definită de matrice conservă aria și orientarea.

Volumul acestui paralelipiped este valoarea absolută a determinantului matricei formate din coloanele construite din vectorii r1, r2 și r3

Dacă o matrice reală A (n × n) este descompusă după vectorii ei coloană $A=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{array}}\right]$, atunci:

$A{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{1},\quad A{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{2},\quad \ldots ,\quad A{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=\mathbf {a} _{n}$

Aceasta înseamnă că $A$ trimite hipercubul unitate n-dimensional într-un paralelotop n-dimensional definit de vectorii $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n},$ regiunea $P=\left\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\right\}$ (${\textstyle \forall }$ înseamnă „pentru orice”, ca simbol logic).

Determinantul dă volumul orientat de dimensiune n al acestui paralelotop, $\det(A)=\pm {\text{vol}}(P),$ și descrie astfel, mai general, factorul de scalare al volumului de dimensiune n al transformării liniare produsă de A. (Semnul arată dacă transformarea conservă sau inversează orientarea^⁠(d).) În special, dacă determinantul este nul, atunci acest paralelotop are volum nul și nu este complet n-dimensional, ceea ce arată că dimensiunea imaginii lui A este mai mică decât n. teorema rangului^⁠(d) înseamnă că A produce o transformare liniară care nu este nici surjectivă, nici injectivă, deci nu este inversabilă.

Definiție

Fie A o matrice pătrată cu n linii și n coloane, astfel încât să poată fi scrisă ca

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}$

Elementele $a_{1,1}$ etc. sunt, pentru multe scopuri, numere reale sau complexe. După cum se discută mai jos, determinantul este definit și pentru matrici ale căror elemente sunt într-un inel comutativ.

Determinantul lui A se notează prin det(A), sau poate fi notat direct în termeni de elemente ale matricei, folosind bare în loc de paranteze:

${\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}$

Există mai multe moduri echivalente de a defini determinantul unei matrici pătrate A, adică una cu același număr de linii și coloane: determinantul poate fi definit prin formula lui Leibniz, o formulă explicită care implică sume de produse ale anumitor elemente ale matricei. Determinantul poate fi caracterizat și ca funcția unică depinzând de elementele matricei și care satisface anumite proprietăți. Această abordare poate fi folosită și pentru calculul determinanților prin simplificarea matricilor în cauză.

Formula lui Leibniz

Articol principal: Formula lui Leibniz pentru determinanți

Matrice de ordinul 3 × 3

Formula lui Leibniz pentru determinantul unei matrice 3 × 3 este următoarea:

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$

În această expresie, fiecare termen are un factor din fiecare linie, fiecare aflat în coloane diferite, aranjat în ordine crescătoare a liniilor. De exemplu, elementul bdi are b din prima linie și a doua coloană, d din a doua linie și prima coloană, și i din a treia linie și a treia coloană. Semnele sunt determinate de câte transpoziții ale factorilor sunt necesare pentru a-i așeza în ordine crescătoare a coloanelor (presupunând că termenii sunt ordonați de la stânga la dreapta în ordinea crescătoare a liniilor): semn pozitiv pentru un număr par de transpoziții și semn negativ pentru un număr impar. În exemplul bdi, singura transpoziție a lui bd în db dă dbi, ai cărui trei factori provin din prima, a doua, respectiv a treia coloană; aceasta este un număr impar de transpoziții, deci termenul apare cu semn negativ.

Regula lui Sarrus

Regula lui Sarrus este un artificiu mnemonic pentru forma extinsă a acestui determinant: suma produselor celor trei diagonale nord-vest–sud-est ale elementelor matricei, minus suma produselor celor trei diagonale sud-vest–nord-est ale elementelor, atunci când copiile primelor două coloane ale matricei sunt scrise alături de ea, așa cum se arată în ilustrație. Această schemă de calcul pentru determinantul unei matrice 3 × 3 nu se generalizează la dimensiuni mai mari.

Matrice de ordinul n × n

Generalizând cele de mai sus la dimensiuni superioare, determinantul unei matrice $n\times n$ este o expresie care implică permutări și paritatea lor. O permutare a mulțimii $\{1,2,\dots ,n\}$ este o funcție bijectivă $\sigma$ de la această mulțime pe ea însăși, cu valorile $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ care epuizează întreaga mulțime. Mulțimea tuturor acestor permutări, numită grup simetric^⁠(d), se notează de obicei $S_{n}$. Paritatea $\operatorname {sgn}(\sigma )$ unei permutări $\sigma$ este $+1,$ dacă permutarea poate fi obținută cu un număr par de transpoziții (schimbări ale a două elemente); altfel, este $-1.$

Dată fiind matricea

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}\ldots a_{1,n}\\\vdots \qquad \vdots \\a_{n,1}\ldots a_{n,n}\end{bmatrix}}$

formula lui Leibniz pentru determinantul ei este, folosind notația sigma pentru sumă,

$\det(A)={\begin{vmatrix}a_{1,1}\ldots a_{1,n}\\\vdots \qquad \vdots \\a_{n,1}\ldots a_{n,n}\end{vmatrix}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$

Folosind notația pi pentru produs, aceasta poate fi scrisă mai scurt:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)$

simbolul Levi-Civita^⁠(d) $\varepsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}$ este definit pe n-tuplurile^⁠(d) de numere întregi din $\{1,\ldots ,n\}$ ca fiind 0 dacă două dintre numere sunt egale, iar altfel ca paritatea permutării definite de tuplul de n numere întregi. Cu simbolul Levi-Civita, formula lui Leibniz devine:

$\det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\!\cdots a_{n,i_{n}},$

unde suma se ia peste toate tuplurile de n numere întregi din $\{1,\,\ldots ,\,n\}$

Proprietăți

Caracterizarea determinantului

Determinantul poate fi caracterizat prin următoarele trei proprietăți esențiale. Pentru a le enunța, este convenabil să se admită o matrice $A(n\times n)$ ca fiind formată din cele n coloane ale sale, notate astfel:

$A={\big (}a_{1},\,\dots ,\,a_{n}{\big )}$

unde vectorul coloană $a_{i}$ (pentru fiecare i) este alcătuit din elementele aflate în coloana i a matricei.

2. $\det \left(I\right)=1$, unde $I$ este o matrice unitate.
4. Determinantul este multiliniar: dacă coloana j a unei matrice $A$ este scrisă ca o combinație liniară $a_{j}=r\cdot v+w$ a doi vectori coloană v și w și a unui număr r, atunci determinantul lui A se poate scrie ca o combinație liniară similară:

   ${\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\,\dots ,\,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\,\dots ,\,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\,\dots ,\,v,\,\dots \,a_{n}|+|a_{1},\,\dots ,\,w,\,\dots ,\,a_{n}|\end{aligned}}$

6. Determinantul este alternant: ori de câte ori două coloane ale unei matrice sunt identice, determinantul este nul:

   $|a_{1},\,\dots ,\,v,\,\dots ,\,v,\,\dots ,\,a_{n}|=0$

Dacă determinantul este definit folosind formula lui Leibniz, așa cum s-a arătat mai sus, aceste trei proprietăți pot fi demonstrate prin inspectarea directă a formulei. Unii autori abordează determinantul direct prin aceste trei proprietăți: se poate arăta că există exact o funcție care atribuie fiecărei matrice $A(n\times n)$ un număr care satisface aceste trei proprietăți. Aceasta arată și că această abordare mai abstractă a determinantului conduce la aceeași definiție ca cea bazată pe formula lui Leibniz.

Pentru a vedea acest lucru, este suficient să se dezvolte determinantul multiliniar pe coloane într-o combinație liniară (foarte mare) de determinanți ai matricilor în care fiecare coloană este un vector din baza canonică^⁠(d). Acești determinanți sunt fie nuli (dacă coloanele sunt liniar dependente, prin proprietatea 3), fie ±1 (prin proprietățile 1 și 3 — semnul minus apare când coloanele sunt permutate conform unei permutări impare), astfel încât combinația liniară dă expresia de mai sus cu simbolul Levi-Civita. Deși pare mai puțin tehnică, această caracterizare nu poate înlocui în totalitate formula lui Leibniz în definirea determinantului, deoarece fără aceasta existența unei funcții adecvate nu este clară.

Consecințe imediate

Aceste reguli au mai multe consecințe:

• Determinantul este o funcție omogenă^⁠(d), adică: $$\det(cA)=c^{n}\det(A)$$ (pentru o matrice $A(n\times n)$.
• Interschimbarea coloanelor din orice pereche de coloane ale unei matrice înmulțește determinantul cu −1. Aceasta rezultă din faptul că determinantul este multiliniar și alternant (proprietățile 2 și 3 de mai sus): $$|a_{1},\,\dots ,\,a_{j},\dots \,a_{i},\dots ,\,a_{n}|=-|a_{1},\,\dots ,\,a_{i},\,\dots ,\,a_{j},\,\dots ,\,a_{n}|$$ Această formulă poate fi aplicată iterativ când se schimbă mai multe coloane. De exemplu $$|a_{3},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{4},\,\dots ,\,a_{n}|=-|a_{1},\,a_{3},\,a_{2},\,a_{4},\,\dots ,\,a_{n}|=|a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,\dots ,\,a_{n}|$$ Mai general, orice permutare a coloanelor înmulțește determinantul cu semnul permutării.
• Dacă o coloană poate fi exprimată ca o combinație liniară a celorlalte coloane (adică coloanele matricei formează o mulțime liniar dependentă^⁠(d)), determinantul este nul. Ca caz particular, aceasta cuprinde situația în care o coloană are toate elementele nule: atunci determinantul acelei matrice este nul.
• Adăugarea unui multiplu scalar al unei coloane la altă coloană nu schimbă valoarea determinantului. Aceasta este o consecință a multiliniarității și a faptului că determinantul este alternant: prin multiliniaritate, determinantul se schimbă printr-un multiplu al determinantului unei matrice cu două coloane egale, iar acel determinant este nul deoarece determinantul este alternant.
• Dacă $A$ este o matrice triunghiulară, adică $a_{ij}=0$ ori de câte ori $i>j$ sau, alternativ, ori de câte ori $i<j$, atunci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală:

$$\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}$$ Într-adevăr, o astfel de matrice poate fi redusă, prin adăugarea corespunzătoare de multipli ai coloanelor cu mai puține elemente nenule la cele cu mai multe, la o matrice diagonală (fără a schimba determinantul). Pentru o astfel de matrice, folosind liniaritatea în fiecare coloană se ajunge la matricea unitate, caz în care formula de mai sus rezultă din chiar prima proprietate caracteristică a determinantului. Alternativ, această formulă poate fi dedusă și din formula lui Leibniz, deoarece singura permutare $\sigma$ care dă o contribuție nenulă este permutarea identitate.

Exemplu

Aceste proprietăți caracteristice și consecințele lor enumerate mai sus sunt importante teoretic, dar pot fi folosite și pentru calculul determinanților unor matrici concrete. În fapt, eliminarea gaussiană poate fi aplicată pentru a aduce orice matrice într-o formă triunghiulară superioară, iar pașii din acest algoritm afectează determinantul într-un mod controlat. Următorul exemplu concret ilustrează calculul determinantului matricei $A$ folosind această metodă:

$A={\begin{bmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{bmatrix}}$

Calculul determinantului matricei $A$

Matrice	$B={\begin{bmatrix}-3&-1&2\\3&1&4\\0&3&-1\end{bmatrix}}$	$C={\begin{bmatrix}-3&5&2\\3&13&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$D={\begin{bmatrix}5&-3&2\\13&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$E={\begin{bmatrix}18&-3&2\\0&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$
Obținută prin	adăugarea celei de-a doua coloane la prima	adăugarea de 3 ori a celei de-a treia coloane la a doua	schimbarea primelor două coloane	adăugarea de $-{\frac {13}{3}}$ ori a celei de-a doua coloane la prima
Determinant	$|A|=|B|$	$|B|=|C|$	$|D|=-|C|$	$|E|=|D|$

Combinând aceste egalități se obține $|A|=-|E|=-(18\cdot 3\cdot (-1))=54$

Transpusa

Determinantul transpusei lui $A$ este egal cu determinantul lui A:

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)$.

Acest lucru poate fi demonstrat prin inspectarea formulei lui Leibniz. Aceasta implică faptul că în toate proprietățile menționate mai sus cuvântul „coloană” poate fi înlocuit peste tot cu „linie”. De exemplu, privită ca o matrice compusă din n linii, determinantul este o funcție n-liniară.

Multiplicativitate și grupuri de matrice

Determinantul este o „aplicație multiplicativă”, adică, pentru matrici pătrate $A$ și $B$ de aceeași dimensiune, determinantul produsului de matrici este produsul determinanților:

$\det(AB)=\det(A)\det(B)$

Acest fapt esențial poate fi demonstrat observând că pentru o matrice fixă $B$ ambele părți ale ecuației sunt alternante și multiliniare ca funcții dependente de coloanele lui $A$. Mai mult, ambele iau valoarea $\det B$ când $A$ este matricea unitate. Caracterizarea unică menționată mai sus a aplicațiilor multiliniare alternante arată deci această afirmație.

O matrice $A$ cu elemente într-un corp este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Aceasta rezultă din multiplicativitatea determinantului și din formula pentru inversă în termeni de matricea adjunctă, menționată mai jos. În acest caz, determinantul matricei inverse este dat de

$\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}$.

În particular, produsele și inversele matricilor cu determinant nenul (respectiv determinant cu valoarea 1) conservă această proprietate. Astfel, mulțimea acestor matrici (de dimensiune fixă $n$ peste un corp $K$) formează un grup cunoscut sub numele de grup liniar general^⁠(d) $\operatorname {GL} _{n}(K)$ (respectiv, un subgrup numit grup liniar special^⁠(d) $\operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)$). Mai general, cuvântul „special” indică subgrupul altui grup de matrici^⁠(d) format din matrici cu determinanți cu valoarea 1. Exemple cuprind grupul ortogonal special (care, dacă n este 2 sau 3, constă din toate matricile de rotație^⁠(d)), și grupul unitar special^⁠(d).

Deoarece determinantul respectă înmulțirea și inversele, el este de fapt un homomorfism de grup de la $\operatorname {GL} _{n}(K)$ în grupul multiplicativ $K^{\times }$ al elementelor nenule ale lui $K$. Acest homomorfism este surjectiv, iar nucleul său este $\operatorname {SL} _{n}(K)$ (matricile cu determinant unu). Prima teoremă a izomorfismului arată că $\operatorname {SL} _{n}(K)$ este un subgrup normal^⁠(d) al lui $\operatorname {GL} _{n}(K)$, iar grupul factor $\operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)$ este izomorf cu $K^{\times }$.

Formula Cauchy–Binet^⁠(d) este o generalizare a acestei formule a produsului pentru matrici dreptunghiulare. Această formulă poate fi reinterpretată și ca o formulă de înmulțire a matricilor compuse ale căror elemente sunt determinanții tuturor submatricilor pătrate ale unei matrice date.

Dezvoltarea Laplace

Dezvoltarea Laplace exprimă determinantul unei matrice $A$ recursiv în termeni de determinanți ai unor matrici mai mici, cunoscuți drept minori. Minorul $M_{i,j}$ este definit ca determinantul matricei $(n-1)\times (n-1)$ obținută din $A$ prin eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$. Pentru orice $i$, există egalitatea

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}$

care se numește „dezvoltarea Laplace după linia i”. De exemplu, dezvoltarea Laplace după prima linie ($i=1$) dă următoarea formulă:

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}$

Dezvoltând determinanții acestor matrici 2 × 2 se obține din nou formula lui Leibniz menționată mai sus. Similar, „dezvoltarea Laplace după coloana $j$” este egalitatea

$\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}$

Dezvoltarea Laplace poate fi folosită iterativ pentru calculul determinanților, dar această abordare este ineficientă pentru matrici mari. Totuși, este utilă pentru calculul determinantului unor matrici foarte simetrice, cum ar fi matricea Vandermonde $${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right)$$

Dezvoltarea Laplace cu n termeni după o linie sau o coloană poate fi generalizată pentru a scrie un determinant n × n ca sumă a ${\tbinom {n}{k}}$ termeni, fiecare fiind produsul determinantului unei submatrici k × k și al determinantului submatricei complementare (n−k) × (n−k).

Matricea adjunctă

Matricea adjunctă $\operatorname {adj} (A)$ este transpusa matricei minorilor, adică:

$(\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.$

Pentru orice matrice există

$(\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.$

Astfel, matricea adjunctă poate fi folosită pentru exprimarea inversei unei matrici nesingulare:

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A$

Matrici de blocuri

Cu anumite ipoteze suplimentare, formula pentru determinantul unei matrice 2 × 2 de mai sus continuă să fie valabilă pentru o matrice de blocuri, adică o matrice compusă din patru submatrici $A,B,C,D$ de dimensiuni $m\times m$, $m\times n$, $n\times m$ și respectiv $n\times n.$ Cea mai simplă astfel de formulă, care poate fi demonstrată fie folosind formula lui Leibniz, fie o factorizare bazată pe complementul Schur^⁠(d), este:

$\det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}$

Dacă $A$ este inversabilă, atunci, folosind rezultatele din secțiunea despre multiplicativitate, rezultă că

${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)\end{aligned}}$

care se simplifică la $\det(A)(D-CA^{-1}B)$ când $D$ este o matrice $1\times 1$.

Un rezultat asemănător este valabil când $D$ este inversabilă, și anume

${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}$

Ambele rezultate pot fi combinate pentru a deduce identitatea Weinstein–Aronszajn^⁠(d), prezentată mai jos.

Dacă blocurile sunt matrici pătrate de aceeași dimensiune, mai există și alte formule. De exemplu, dacă $C$ și $D$ sunt comutative (adică $CD=DC$), atunci

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC)$

Această formulă a fost generalizată pentru matrici compuse din blocuri mai mari de 2 × 2, din nou cu condiții adecvate de comutativitate între blocurile individuale.

Pentru $A=D$ și $B=C$, este valabilă următoarea formulă (chiar dacă $A$ și $B$ nu sunt comutative).

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}}=\det(A+B)\det(A-B).$

Pentru matrici de blocuri determinantul poate fi calculat eficient folosind algoritmi de înmulțire rapidă a matricilor^⁠(d), în timp $O({n^{\omega }})$ pentru $~2,37\leq \omega <3$, prin descompunerea $LU$.

Identitatea Weinstein–Aronszajn

Identitatea Weinstein–Aronszajn^⁠(d) (teorema determinantului lui Sylvester) afirmă că pentru A, o matrice m × n, și B, o matrice n × m (astfel încât A și B au dimensiunile necesare pentru a fi înmulțite în oricare ordine, formând o matrice pătrată):

$\det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right)$

unde I_m și I_n sunt matricile unitate de dimensiunile m × m, respectiv n × n.

Din acest rezultat general decurg mai multe consecințe.

1. Pentru cazul unui vector coloană c și al unui vector linie l, fiecare cu m componente, formula permite calculul rapid al determinantului unei matrice care diferă de matricea identitate printr-o matrice de rang 1:

   $\det \left(I_{\mathit {m}}+cl\right)=1+lc$

2. Mai general, pentru orice matrice inversabilă X(m × m),

   $\det(X+AB)=\det(X)\det \left(I_{\mathit {n}}+BX^{-1}A\right)$

3. Pentru un vector coloană și unul linie, ca mai sus:

   $\det(X+cl)=\det(X)\det \left(1+lX^{-1}c\right)=\det(X)+l\,\operatorname {adj} (X)\,c$

4. Pentru matrici pătrate $A$ și $B$ de aceeași dimensiune, matricile $AB$ și $BA$ au același polinom caracteristic (deci aceleași valori proprii).

O generalizare este $\det \left(Z+AWB\right)=\det \left(Z\right)\det \left(W\right)\det \left(W^{-1}+BZ^{-1}A\right)$ (v. lema determinantului unei matrice^⁠(d)), unde Z este o matrice inversabilă m × m, iar W este o matrice inversabilă n × n.

Sumă

Determinantul sumei $A+B$ a două matrici pătrate de aceeași dimensiune nu se poate, în general, exprima în termenii determinanților lui A și B.

Totuși, pentru matrici pozitiv semidefinite^⁠(d) $A$, $B$ și $C$ de aceeași dimensiune, $$\det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C)$$ cu corolarul $$\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)$$

Atunci când este restricționată la matrici hermitiene pozitiv definite n × n, teorema Brunn–Minkowski implică faptul că rădăcina de ordinul n a determinantului este o funcție concavă. Prin urmare, dacă A și B sunt matrici hermitiene pozitiv definite n × n, atunci: $${\sqrt[{n}]{\det(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\det(A)}}+{\sqrt[{n}]{\det(B)}}$$ deoarece rădăcina de ordinul n a determinantului este o funcție omogenă^⁠(d).

Identitate pentru sumă în cazul matricilor 2 × 2

Pentru cazul particular al matricilor 2 × 2 cu elemente complexe, determinantul sumei poate fi scris în termenii determinanților și urmelor (operator tr = „trace”) prin următoarea identitate:

$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)+{\text{tr}}(A){\text{tr}}(B)-{\text{tr}}(AB)$

Proprietățile determinantului în raport cu alte noțiuni

Valorile proprii și polinomul caracteristic

Determinantul este strâns legat de alte două concepte centrale din algebra liniară, valorile proprii și polinomul caracteristic^⁠(d) al unei matrice. Fie $A$ o matrice $n\times n$ cu elemente complexe. Atunci, conform teoremei fundamentale a algebrei, $A$ trebuie să aibă exact n valori proprii $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$. (Aici se înțelege că o valoare proprie cu multiplicitatea algebrică μ apare de μ ori în această listă.) Atunci se dovedește că determinantul lui A este egal cu produsul acestor valori proprii,

$\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$

De aici se vede imediat că determinantul unei matrice $A$ este nul dacă și numai dacă $0$ este o valoare proprie a lui $A$. Cu alte cuvinte, $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $0$ nu este o valoare proprie a lui $A$.

Polinomul caracteristic este definit astfel:

$\chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A)$

Aici, $t$ este variabila (nedeterminată) a polinomului, iar $I$ este matricea unitate de aceeași dimensiune cu $A$. Prin intermediul acestui polinom, determinanții pot fi folosiți pentru a găsi valorile proprii ale matricei $A$: ele sunt chiar rădăcinile acestui polinom^⁠(d), adică acele numere complexe $\lambda$ pentru care

$\chi _{A}(\lambda )=0$

O matrice Hermitiană^⁠(d) este pozitiv definită dacă toate valorile ei proprii sunt pozitive. Criteriul lui Sylvester^⁠(d) afirmă că aceasta este echivalentă cu pozitivitatea determinanților submatricilor:

$A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}$

pentru toate $k$ între $1$ și $n$.

Urma

Urma tr(A) este, prin definiție, suma elementelor de pe diagonală ale lui A și este egală și cu suma valorilor proprii. Astfel, pentru matrici complexe A,

$\det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))$

sau, pentru matrici reale A,

$\operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A)))$

Aici cu exp(A) este notată exponențiala matricei^⁠(d) A, deoarece fiecare valoare proprie λ a lui A corespunde valorii proprii exp(λ) a lui exp(A). În special, dat fiind orice logaritm^⁠(d) al lui A, adică orice matrice L care satisface

$\exp(L)=A$

determinantul lui A este dat de

$\det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L))$

De exemplu, pentru n = 2, n = 3 și respectiv n = 4,

${\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right)\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right)\end{aligned}}$

conform teoremei Cayley–Hamilton. Astfel de expresii se deduc din argumente combinatorice, identitățile lui Newton^⁠(d) sau cu algoritmul Faddeev–LeVerrier^⁠(d). Adică, pentru n generic, detA = (−1)ⁿc₀ este termenul constant cu semn al polinomului caracteristic, determinat recursiv din

$c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)$

În cazul general determinantul poate fi obținut și din

$\det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}}$

unde suma se ia peste mulțimea tuturor numerelor întregi k_l ≥ 0 care satisfac ecuația

$\sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n$

Formula poate fi exprimată în termenii polinomului Bell^⁠(d) exponențial complet cu n argumente s_l = −(l – 1)! tr(A^l) ca:

$\det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$

Această formulă poate fi folosită și pentru determinarea determinantului unei matrice A^I_J cu indici multidimensionali I = (i₁, i₂, ..., i_r) și J = (j₁, j₂, ..., j_r). Produsul și urma unor astfel de matrici sunt definite în mod natural ca:

$(AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}$

O identitate importantă de dimensiune arbitrară n poate fi obținută din dezvoltarea în serie Mercator a logaritmului, atunci când dezvoltarea converge. Dacă fiecare valoare proprie a lui A este mai mică decât 1 în valoare absolută,

$\det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}$

unde I este matricea unitate.

Mai general, dacă

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}$

este dezvoltată ca o serie formală de puteri în s, atunci toți coeficienții lui s^m pentru m > n sunt nuli, iar polinomul rămas este det(I + sA).

Limite superioare și inferioare

Pentru o matrice pozitiv definită A, operatorul urmă oferă următoarele limite strânse inferioare și superioare pentru logaritmul determinantului:

$\operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)$

cu egalitate dacă și numai dacă A = I. Această relație poate fi dedusă folosind formula pentru divergența Kullback–Leibler^⁠(d) dintre două distribuții normale multivariate^⁠(d).

De asemenea,

${\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}$

Aceste inegalități pot fi demonstrate exprimând urmele și determinantul în funcție de valorile proprii. Ca atare, ele reprezintă faptul bine-cunoscut că media armonică este mai mică decât media geometrică, care este mai mică decât media aritmetică, care, la rândul ei, este mai mică decât media pătratică.

Derivata

Formula lui Leibniz arată că determinantul matricilor pătrate reale (sau, analog, complexe) este o funcție polinomială din $\mathbf {R} ^{n\times n}$ în $\mathbf {R}$. În special, este peste tot derivabil. Derivata sa poate fi exprimată prin formula lui Jacobi^⁠(d):

${\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right)$

unde $\operatorname {adj} (A)$ este complementara^⁠(d) lui $A$. În particular, dacă $A$ este inversabilă, atunci:

${\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right)$

Exprimat în funcție de elementele lui $A$, acestea sunt:

${\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}$

O altă formulare echivalentă este, folosind notația Big O:

$\det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)$

Cazul particular în care $A=I$, matricea unitate dă:

$\det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)$

Această identitate este folosită în descrierea algebrelor Lie^⁠(d) asociate anumitor grupuri Lie de matrici. De exemplu, grupul liniar special $\operatorname {SL} _{n}$ este definit de ecuația $\det A=1$. Formula de mai sus arată că algebra sa Lie este algebra Lie liniară specială^⁠(d) ${\mathfrak {sl}}_{n}$, alcătuită din matricile cu urmă nulă.

Scriind o matrice $3\times 3$ ca $A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}$ unde $a,b,c$ sunt vectori coloană de lungime 3, gradientul față de unul dintre cei trei vectori poate fi scris ca produsul vectorial al celorlalți doi:

${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} \end{aligned}}$

Istoric

Din punct de vedere istoric, determinanții au fost folosiți cu mult înaintea matricilor: un determinant a fost definit inițial ca proprietate a unui sistem de ecuații liniare. Determinantul „determină” dacă sistemul are o soluție unică (ceea ce se întâmplă atunci când determinantul nu este nul). În Europa, soluțiile sistemelor liniare de două ecuații au fost exprimate de Girolamo Cardano în 1545 printr-o entitate asemănătoare determinantului.

Determinanții propriu-ziși au apărut separat din munca lui Seki Takakazu în 1683 în Japonia și, în paralel, din cea a lui Gottfried Leibniz în 1693. Cramer (1750) a enunțat, fără demonstrație, regula lui Cramer. Atât Cramer, cât și Bézout (1779) au fost conduși spre determinanți de problema curbelor plane care trec printr-o mulțime dată de puncte.

Vandermonde (1771) a recunoscut pentru prima dată determinanții ca funcții independente. Laplace (1772) a dat metoda generală de dezvoltare a unui determinant în funcție de minorii săi complementari: Vandermonde dăduse deja un caz particular. Imediat după aceea, Lagrange (1773) a tratat determinanții de ordinul al doilea și al treilea și i-a aplicat la probleme de teoria eliminării; el a demonstrat multe cazuri particulare de identități generale.

Gauss (1801) a făcut următorul pas. Ca și Lagrange, el a folosit intens determinanții în teoria numerelor. A introdus cuvântul „determinant” (Laplace folosea „rezultant”), deși nu în sensul actual, ci mai degrabă pentru discriminantul^⁠(d) unei forme pătratice. Gauss a ajuns și la noțiunea de inversul unui determinant și s-a apropiat mult de înmulțirea matricilor.

Următorul contributor important este Binet (1811, 1812), care a enunțat formal teorema referitoare la produsul a două matrici cu m coloane și n linii, care în cazul particular m = n se reduce la teorema înmulțirii. În aceeași zi (30 noiembrie 1812) în care Binet și-a prezentat lucrarea Academiei, Cauchy a prezentat și el una pe aceeași temă (v. formula Cauchy–Binet^⁠(d)). În aceasta, el a folosit cuvântul „determinant” în sensul său actual, a rezumat și simplificat ce se cunoștea atunci despre subiect, a îmbunătățit notația și a dat teorema înmulțirii cu o demonstrație mai satisfăcătoare decât cea a lui Binet. Cu el începe teoria în generalitatea ei.

Jacobi (1841) a folosit determinantul funcțional, pe care Sylvester l-a numit mai târziu jacobian^⁠(d). În memoriile sale din Crelle's Journal pentru 1841, el tratează în mod special acest subiect, precum și clasa funcțiilor alternante pe care Sylvester le-a numit „alternanți”. În perioada ultimelor memorii ale lui Jacobi, Sylvester (1839) și Cayley și-au început lucrările. Cayley 1841. a introdus notația modernă pentru determinant folosind bare verticale.

Studiul formelor particulare de determinanți a fost rezultatul firesc al finalizării teoriei generale. Determinanții axisimetrici au fost studiați de Lebesgue, Hesse și Sylvester; determinanții persimetrici^⁠(d) de Sylvester și Hankel; determinanții circulanți^⁠(d) de Catalan, Spottiswoode, Glaisher și Scott; determinanții antisimetrici și pfaffienii^⁠(d), în legătură cu teoria transformărilor ortogonale^⁠(d) de Cayley; continuanții de Sylvester; wronskienii^⁠(d) de Christoffel și Frobenius; determinanții compuși de Sylvester, Reiss și Picquet; jacobienii și hessienii de Sylvester.

Aplicații

Regula lui Cramer

Determinanții pot fi folosiți pentru a descrie soluțiile unui sistem de ecuații liniare, scris în formă matricială ca $Ax=b.$ Această ecuație are o soluție unică $x$ dacă și numai dacă $\det(A)$ este nenul. În acest caz soluția este dată de regula lui Cramer:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\,\ldots ,n$

unde $A_{i}$ este matricea obținută prin înlocuirea coloanei $i$ a lui $A$ cu vectorul coloană $b.$ Acest lucru rezultă imediat din dezvoltarea determinantului după coloane, adică

$\det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}$

$=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)$ unde vectorii $a_{j}$ sunt coloanele lui A. Regula este implicată și de identitatea:

$A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}$

Regula lui Cramer poate fi implementată în timp $\operatorname {O} (n^{3})$, comparabil cu cel al metodelor obișnuite de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, precum LU^⁠(d), QR sau descompunerea în valori singulare^⁠(d).

Independența liniară

Determinanții pot fi folosiți pentru a caracteriza vectorii dependenți liniar^⁠(d): $\det A$ este nul dacă și numai dacă vectorii coloană ai matricei $A$ sunt liniar dependenți. De exemplu, date doi vectori independenți liniar $v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3},$ un al treilea vector $v_{3}$ se află în planul generat^⁠(d) de primii doi vectori doar dacă determinantul matricei 3 × 3 formată din cei trei vectori este nul. Aceeași idee este folosită și în teoria ecuațiilor diferențiale: date funcțiile $f_{1}(x),\,\dots ,f_{n}(x)$ (presupuse a fi derivabile de $n-1$ ori), wronskianul este definit astfel:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}$

Acesta este nenul (pentru un anumit $x$) într-un interval dat dacă și numai dacă funcțiile date și toate derivatele lor până la ordinul $n-1$ sunt independente liniar. Dacă se poate arăta că wronskianul este nul peste tot pe un interval, atunci, în cazul funcțiilor analitice, aceasta implică faptul că funcțiile date sunt dependente liniar. O altă utilizare a determinantului este rezultantul^⁠(d), care dă un criteriu pentru când două polinome au un rădăcină comună.

Produs vectorial

Articol principal: Produs vectorial

Calculul unui produs vectorial este echivalent cu găsirea determinantului formal al unei anumite matrice 3×3. Mai precis, pentru vectorii $\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$ și $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$:

$$\mathbf {a\times b} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}$$

Orientarea unei baze

Articol principal: Orientare (spațiu vectorial)

Determinantul poate fi privit ca atribuind un număr fiecărei succesiuni de n vectori în Rⁿ, folosind matricea pătrată ale cărei coloane sunt vectorii dați. Determinantul va fi nenul dacă și numai dacă succesiunea de vectori este o bază pentru Rⁿ. În acest caz, semnul determinantului stabilește dacă orientarea^⁠(d) bazei este aceeași cu sau opusă orientării bazei canonice^⁠(d). În cazul unei baze ortogonale, modulul determinantului este egal cu produsul lungimilor vectorilor bazei. De exemplu, o matrice ortogonală^⁠(d) cu elemente în Rⁿ reprezintă o bază ortonormată în spațiul euclidian și are, prin urmare, determinantul ±1 (deoarece toți vectorii au lungimea 1). Determinantul este +1 dacă și numai dacă baza are aceeași orientare. Este −1 dacă și numai dacă baza are orientarea opusă.

Mai general, dacă determinantul lui A este pozitiv, A reprezintă o transformare liniară care conservă orientarea (dacă A este o matrice ortogonală 2 × 2 sau 3 × 3, aceasta este o rotație), în timp ce dacă este negativ, A schimbă orientarea bazei.

Volum și determinant jacobian

După cum s-a arătat mai sus, valoarea absolută a determinantului vectorilor reali este egală cu volumul paralelipipedului generat de acei vectori. Ca urmare, dacă $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ este aplicația liniară dată de înmulțirea cu o matrice $A$, iar $S\subset \mathbf {R} ^{n}$ este orice subset măsurabil, atunci volumul lui $f(S)$ este dat de $|\det(A)|$ înmulțit cu volumul lui $S$. Mai general, dacă aplicația liniară $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}$ este reprezentată de matricea $A(m\times n)$, atunci raportul dintre volumele de dimensiune n ale lui $f(S)$ și $S$ este dat de:

${\frac {\operatorname {volume} (f(S))}{\operatorname {volume} (S)}}={\sqrt {\det \left(A^{\textsf {T}}A\right)}}.$

Când $m<n$, această valoare este zero.

Prin calculul volumului tetraedrului delimitat de patru puncte, determinanții pot fi folosiți pentru a identifica dreptele necoplanare. Volumul oricărui tetraedru, date fiind vârfurile $a,b,c,d$, este ${\frac {1}{6}}\cdot |\det(a-b,b-c,c-d)|$, sau orice altă combinație de perechi de vârfuri care formează un arbore de acoperire^⁠(d) peste vârfuri.

O aplicație neliniară $f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}$ trimite un pătrat mic (stânga, în roșu) într-un paralelogram deformat (dreapta, în roșu). Jacobianul într-un punct dă cea mai bună aproximare liniară a paralelogramului deformat în vecinătatea acelui punct (dreapta, în alb translucid), iar determinantul jacobian dă raportul dintre aria paralelogramului de aproximare și aria pătratului inițial.

Pentru o funcție derivabilă generală, multe dintre cele de mai sus se extind prin considerarea matricei jacobiene^⁠(d) a lui f. Pentru

$f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}$

matricea jacobiană este matricea n × n ale cărei elemente sunt date de derivatele parțiale:

$D(f)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$

Determinantul ei, jacobianul, apare în versiunea de dimensiune superioară a integrării prin schimbare de variabilă: pentru funcții adecvate f și o submulțime deschisă U al lui Rⁿ (domeniul lui f), integrala peste f(U) a altei funcții φ : Rⁿ → R^m este dată de

$\int _{f(U)}\phi (\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}\phi (f(\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} f)(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u}$

Jacobianul apare și în teorema funcției inverse^⁠(d).

Când este utilizat în cartografie, determinantul poate fi folosit pentru a măsura gradul de deformare a unei hărți în apropierea polilor.

Arii și coliniaritate

Determinantul oferă o metodă convenabilă de calcul al ariei unui triunghi în planul xy. Aria unui triunghi ale cărui vârfuri sunt $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ și $(x_{3},y_{3})$ este dată de:

$\pm {\frac {1}{2}}\det {\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{pmatrix}}$

unde semnul $\pm$ este ales astfel încât să dea o arie pozitivă. Un corolar imediat al acestui rezultat este că, dacă determinantul este nul, atunci nu există triunghi, ceea ce implică faptul că punctele sunt coliniare. Determinantul oferă, așadar, un instrument util pentru testarea coliniarității.

Aspecte în algebra abstractă

Determinantul unui endomorfism

Identitățile de mai sus privind determinantul produselor și inverselor matricilor implică faptul că matricile asemenea au același determinant: două matrici A și B sunt asemenea dacă există o matrice inversabilă X astfel încât A = X⁻¹BX. Într-adevăr, aplicând repetat identitățile de mai sus se obține:

$\det(A)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B)$

Determinantul este deci invariant la asemănare^⁠(d). Determinantul unei transformări liniare

$T:V\to V$

pentru un anumit spațiu vectorial finit dimensional V este definit ca determinantul matricei care o descrie, cu privire la o alegere arbitrară a unei baze în V. Deoarece este invariant la asemănare, acest determinant este independent de alegerea bazei pentru V și depinde deci doar de endomorfismul T.

Matrici pătrate peste inele comutative

Definiția de mai sus a determinantului folosind regula lui Leibniz funcționează mai general atunci când elementele matricei sunt elemente ale unui inel comutativ $R$, precum numerele întregi $\mathbf {Z}$, spre deosebire de corpul numerelor reale sau complexe. În plus, caracterizarea determinantului ca unica aplicație multiliniară alternantă care satisface $\det(I)=1$ rămâne valabilă, la fel și toate proprietățile care decurg din această caracterizare.

O matrice $A\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(R)$ este inversabilă (în sensul că există o matrice inversă ale cărei elemente sunt în $R$) dacă și numai dacă determinantul său este un element inversabil în $R$. Pentru $R=\mathbf {Z}$, aceasta înseamnă că determinantul este +1 sau −1. O astfel de matrice se numește matrice unimodulară^⁠(d).

Deoarece determinantul este multiplicativ, el definește un homomorfism de grup

$\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times },$

între grupul liniar general (grupul matricilor inversabile n × n cu elemente în $R$) și grupul multiplicativ^⁠(d) al unităților din $R$. Deoarece respectă înmulțirea în ambele grupuri, această aplicație este un homomorfism de grup.

Determinantul este o transformare naturală.

Fiind dat un homomorfism de inele^⁠(d) $f:R\to S$, există o aplicație $\operatorname {GL} _{n}(f):\operatorname {GL} _{n}(R)\to \operatorname {GL} _{n}(S)$ obținută prin înlocuirea tuturor elementelor din $R$ cu imaginile lor prin $f$. Determinantul respectă aceste aplicații, adică identitatea

$f(\det((a_{i,j})))=\det((f(a_{i,j})))$

este adevărată. Cu alte cuvinte, diagrama comutativă din figură comută.

De exemplu, determinantul conjugatei complexe a unei matrici complexe (care este și determinantul transpusei sale conjugate) este conjugatul complex al determinantului său, iar pentru matrici întregi: reducerea modulo $m$ a determinantului unei astfel de matrice este egală cu determinantul matricei reduse modulo $m$ (acest din urmă determinant fiind calculat folosind aritmetica modulară^⁠(d)). În limbajul teoriei categoriilor, determinantul este o transformare naturală^⁠(d) între cele doi functori $\operatorname {GL} _{n}$ și $(-)^{\times }$. Adăugând încă un strat de abstractizare, aceasta se exprimă spunând că determinantul este un morfism de grupuri algebrice^⁠(d), de la grupul liniar general la grupul multiplicativ,

${\displaystyle \det$ :\operatorname {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{m}}

Algebra Grassmann

Determinantul unei aplicații liniare $T:V\to V$ a unui spațiu vectorial $V$ de dimensiune $n$ sau, mai general, al unui modul liber^⁠(d) de rang finit $n$ peste un inel comutativ $R$ poate fi formulat independent de coordonate, considerând puterea exterioară de ordinul $n$ $\bigwedge ^{n}V$ a lui $V$. Aplicația $T$ produce o transformare liniară:

${\begin{aligned}\bigwedge ^{n}T:\bigwedge ^{n}V&\rightarrow \bigwedge ^{n}V\\v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{n}&\mapsto Tv_{1}\wedge Tv_{2}\wedge \dots \wedge Tv_{n}\end{aligned}}$

Cum $\bigwedge ^{n}V$ este de o singură dimensiune, aplicația $\bigwedge ^{n}T$ este dată de înmulțirea cu un scalar, adică un element din $R$. Unii autori, precum (Bourbaki 1998), folosesc acest fapt pentru a defini determinantul ca fiind elementul din $R$ care satisface următoarea identitate (pentru toate $v_{i}\in V$):

$\left(\bigwedge ^{n}T\right)\left(v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}\right)=\det(T)\cdot v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}$

Această definiție coincide cu definiția mai concretă, dependentă de coordonate. Acest lucru poate fi arătat folosind unicitatea unei forme multiliniare alternante pe tupluri de vectori din $R^{n}$. Din acest motiv, cea mai înaltă putere exterioară nenulă $\bigwedge ^{n}V$ (spre deosebire de determinantul asociat unui endomorfism) este uneori numită și determinantul lui $V$ și similar, pentru obiecte mai complicate, precum fibratele vectoriale^⁠(d) sau complexele de lanțuri^⁠(d) de spații vectoriale. Minorii unei matrice pot fi, de asemenea, formulați în acest cadru, considerând forme alternante de ordin inferior $\bigwedge ^{k}V$ cu $k<n$.

Integrală Berezin

Definiția convențională a determinantului, ca sumă peste permutări a unui produs de elemente ale matricei, poate fi scrisă folosind notația surprinzătoare a integralei Berezin^⁠(d). În această notație, determinantul poate fi scris astfel:

$\int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A$

Acest lucru este valabil pentru orice matrice $A(n\times n)$. Simbolurile $\theta ,\eta$ sunt doi vectori de dimensiune $n$ de numere Grassmann^⁠(d) anticomutative, preluate din algebra Grassmann. $\exp$ este aici funcția exponențială. Semnul integralei trebuie înțeles ca integrală Berezin. În ciuda folosirii simbolului de integrală, această expresie este de fapt o sumă finită.

Această expresie neobișnuită poate fi înțeleasă ca un artificiu de notație care rescrie expresia convențională a determinantului

$\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$

folosind o notație nouă. Proprietatea anticomutativă a numerelor Grassmann reflectă paritatea permutării, iar integrala combinată cu $\exp$ asigură explorarea tuturor permutărilor. Adică seria Taylor pentru $\exp$ se oprește după exact $n$ termeni, deoarece pătratul unui număr Grassmann este nul și există exact $n$ variabile Grassmann diferite. Între timp, integrala este definită astfel încât să fie nulă dacă numărul Grassmann corespunzător nu apare în integrand. Prin urmare, integrala ia doar termenii din seria $\exp$ care conțin exact $n$ variabile distincte; toți termenii de ordin inferior dispar. Astfel, combinația aparent magică dintre semnul integralei, folosirea variabilelor anticomutative și seria Taylor pentru $\exp$ codifică pur și simplu o sumă finită, identică cu suma convențională.

Această formă este populară în fizică, unde este adesea folosită ca înlocuitor pentru determinantul jacobian. Farmecul ei este că, din punct de vedere al notației, integrala ia forma unei integrale de drum^⁠(d), precum în mecanica hamiltoniană cuantificată. Un exemplu poate fi găsit în teoria fantomelor Fadeev–Popov^⁠(d); deși această teorie poate părea destul de greu de înțeles, este bine de reținut că folosirea câmpurilor „fantomă” este puțin mai mult decât un artificiu de notație pentru a exprima un determinant jacobian.

Pfaffianul $\mathrm {Pf} \,A$ al unei matrice antisimetrice^⁠(d) $A$ este rădăcina pătrată a determinantului: adică $\left(\mathrm {Pf} \,A\right)^{2}=\det A.$ Forma integralei Berezin pentru Pfaffian este și mai sugestivă. Ea este:

$\int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}A\theta \right]\,d\theta =\mathrm {Pf} \,A$

Integrandul are exact aceeași structură formală ca o distribuție normală obișnuită, doar că în loc de numere reale apar numere Grassmann. Această asemănare formală explică apariția ocazională a numerelor Grassmann în teoria dinamicii stohastice și a ecuațiilor diferențiale stohastice^⁠(d).

Generalizări și noțiuni înrudite

Determinanții tratați mai sus admit mai multe variante: permanentul^⁠(d) unei matrice este definit la fel ca și ca determinantul, cu excepția faptului că factorii $\operatorname {sgn}(\sigma )$ care apar în regula lui Leibniz sunt omiși. Imanantul^⁠(d) generalizează ambele noțiuni prin introducerea unui caracter^⁠(d) al grupului simetric^⁠(d) $S_{n}$ în regula lui Leibniz.

Determinanți pentru algebre finit-dimensionale

Pentru orice algebră asociativă^⁠(d) în care $A$ este de dimensiune finită ca spațiu vectorial peste un corp $F$, există o aplicație determinant

$\det :A\to F$

Această definiție pornește de la stabilirea polinomului caracteristic independent de determinant și definește determinantul ca termenul de ordin cel mai mic al acestui polinom. Această definiție generală recuperează determinantul pentru algebra matricilor^⁠(d) $A=\operatorname {Mat} _{n\times n}(F)$, dar cuprinde și alte cazuri, precum determinantul unui cuaternion,

$\det(a+ib+jc+kd)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

norma^⁠(d) $N_{L/F}:L\to F$ a unei extinderi de corp, precum și pfaffianul unei matrici antisimetrice și norma redusă a unei algebre centrale simple^⁠(d).

Matrici infinite

Pentru matrici cu un număr infinit de linii și coloane, definițiile de mai sus ale determinantului nu se extind direct. De exemplu, în formula lui Leibniz, ar trebui calculată o sumă infinită (ale cărei termeni sunt produse infinite). Analiza funcțională oferă alte extinderi ale determinantului pentru astfel de situații infinit-dimensionale, dar acestea funcționează doar pentru anumite tipuri de operatori.

Determinantul Fredholm^⁠(d) definește determinantul pentru operatorii cunoscuți ca operatori de clasa urmă^⁠(d) printr-o generalizare adecvată a formulei

$\det(I+A)=\exp(\operatorname {tr} (\log(I+A)))$

O altă noțiune de determinant în spații infinit-dimensionale este determinantul funcțional^⁠(d).

Operatorii din algebrele von Neumann

Pentru operatorii dintr-un factor finit dintr-o algebră von Neumann^⁠(d), se poate defini un determinant cu valori reale pozitive numit determinantul Fuglede–Kadison^⁠(d) folosind urma canonică. De fapt, pentru fiecare stare^⁠(d) a urmei într-o algebră von Neumann există noțiunea de determinant Fuglede–Kadison.

Noțiuni înrudite pentru inele necomutative

Pentru matrici peste inele necomutative, multilinearitatea și proprietățile de alternanță sunt incompatibile pentru n ≥ 2, deci nu există o definiție bună a determinantului în acest context.

Pentru matrici pătrate cu elemente într-un inel necomutativ apar diverse dificultăți în definirea determinantului analog celui pentru inele comutative. Se poate da un sens formulei lui Leibniz dacă se specifică ordinea produsului, și similar pentru alte definiții ale determinantului, dar necomutativitatea duce apoi la pierderea multor proprietăți fundamentale ale determinantului, precum proprietatea de a fi multiplicativ sau faptul că determinantul nu se schimbă la transpusa matricei. Peste inele necomutative nu există o noțiune rezonabilă de formă multiliniară (existența unei forme biliniare nenule cu un element regulat al lui R ca valoare pe o pereche de argumente implică faptul că R este comutativ). Cu toate acestea, au fost formulate diverse noțiuni de determinant necomutativ care păstrează unele dintre proprietățile determinantelor, în special {{ill-wd| Q7269494[[cvasideterminanții}} și determinantul Dieudonné^⁠(d). Pentru anumite clase de matrici cu elemente necomutative se poate defini determinantul și se pot demonstra teoreme de algebră liniară foarte asemănătoare analoagelor comutative. Exemple includ q-determinantul pe grupuri cuantice, determinantul Capelli^⁠(d) pe matrici Capelli și berezinianul^⁠(d) pe o supermatrice^⁠(d) (adică matrici ale căror elemente sunt elemente ale unor inele gradate^⁠(d) de tip $\mathbb {Z} _{2}$). Matricile Manin^⁠(d) formează clasa cea mai apropiată de matricile cu elemente comutative.

Calcul

Determinanții sunt folosiți în principal ca instrument teoretic. Ei sunt calculați rar explicit în algebra liniară numerică^⁠(d), unde, pentru aplicații precum verificarea inversabilității și găsirea valorilor proprii, determinantul a fost în mare parte înlocuit de alte tehnici. Totuși, geometria computațională^⁠(d)utilizează frecvent calcule legate de determinanți.

Deși determinantul poate fi calculat direct folosind regula lui Leibniz, această abordare este extrem de ineficientă pentru matrici mari, deoarece formula necesită calculul a $n!$ ($n$ factorial) produse pentru o matrice $n\times n$. Astfel, numărul operațiilor necesare crește foarte rapid: este de ordinul $n!$. Dezvoltarea Laplace este la fel de ineficientă. Prin urmare, au fost dezvoltate tehnici mai complexe pentru calculul determinantelor.

Eliminarea gaussiană

Eliminarea gaussiană constă în înmulțirea la stânga a unei matrice cu matrici elementare pentru a obține o matrice în formă eșalon pe linii^⁠(d). Se poate restrânge calculul la matrici elementare de determinant 1. În acest caz, determinantul formei eșalon pe linii obținute este egal cu determinantul matricei inițiale. Cum o formă eșalona pe linii este o matrice triunghiulară, determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală.

Așadar, determinantul poate fi calculat aproape fără efort din rezultatul eliminării gaussiene.

Metode de descompunere

Unele metode calculează $\det(A)$ scriind matricea ca produs de matrici ai căror determinanți se calculează mai ușor. Astfel de tehnici se numesc metode de descompunere. Exemple cuprind descompunerea LU^⁠(d), descompunerea QR sau descompunerea Cholesky^⁠(d) (pentru matrici pozitiv definite). Aceste metode au ordinul $\operatorname {O} (n^{3})$, ceea ce reprezintă o îmbunătățire semnificativă față de $\operatorname {O} (n!)$.

De exemplu, descompunerea LU exprimă $A$ ca produsul:

$A=PLU$

al unei matrice permutare $P$ (care are exact un singur $1$ în fiecare coloană și zerouri în rest), al unei matrice triunghiulare inferior $L$ și al unei matrice triunghiulare superior $U$.

Determinanții celor două matrici triunghiulare $L$ și $U$ pot fi calculați rapid, ca produsele elementelor lor de pe diagonala principală. Determinantul lui $P$ este doar semnul $\varepsilon$ al permutării corespunzătoare (adică $+1$ pentru un număr par de permutări și $-1$ pentru un număr impar). Odată cunoscută o astfel de descompunere $LU$ pentru $A$, determinantul ei se calculează ușor ca:

$\det(A)=\varepsilon \det(L)\cdot \det(U)$

Alte metode

Ordinul $\operatorname {O} (n^{3})$ obținut de metodele de descompunere a fost îmbunătățit prin diverse metode. Dacă două matrici de ordin $n$ pot fi înmulțite^⁠(d) în timp $M(n)$, unde $M(n)\geq n^{a}$ pentru un anumit $a>2$, atunci există un algoritm care calculează determinantul în timp $\operatorname {O} (M(n))$. Aceasta înseamnă, de exemplu, că există un algoritm de ordin $\operatorname {O} (n^{2,376})$ pentru calculul determinantului, bazat pe algoritmul Coppersmith–Winograd^⁠(d). Acest exponent a fost redus în continuare, în 2016, la 2,373.

Pe lângă complexitatea algoritmului, pot fi folosite și alte criterii pentru a compara algoritmii. În special pentru aplicații privind matrici peste inele, există algoritmi care calculează determinantul fără nicio împărțire. (Prin contrast, eliminarea gaussiană necesită împărțiri.) Un astfel de algoritm, având complexitate $\operatorname {O} (n^{4})$, se bazează pe următoarea idee: permutările (ca în regula lui Leibniz) sunt înlocuite cu așa-numitele drumuri închise ordonate, în care unele elemente se pot repeta. Suma rezultată are mai mulți termeni decât în regula lui Leibniz, dar în proces mai multe dintre aceste produse pot fi reutilizate, făcând metoda mai eficientă decât calculul naiv cu regula lui Leibniz. Algoritmii pot fi evaluați și după complexitatea de calcul^⁠(d), adică după câți biți de precizie sunt necesari pentru a stoca valorile intermediare apărute în calcul. De exemplu, metoda eliminării gaussiene (sau a descompunerii LU) are ordinul $\operatorname {O} (n^{3})$, dar lungimea în biți a valorilor intermediare poate deveni exponențial de mare. Prin comparație, algoritmul Bareiss^⁠(d), care este o metodă aplicabilă la împărțiri exacte (deci folosește împărțirea, dar numai în cazuri în care împărțirile pot fi făcute fără rest), are același ordin, dar complexitatea în biți este aproximativ mărimea în biți a elementelor inițiale ale matricei înmulțită cu $n$.

Dacă determinantul lui A și inversa lui A au fost deja calculate, lema determinantului unei matrice^⁠(d) permite calculul rapid al determinantului lui A + uv^T, unde u și v sunt vectori coloană.

Charles Dodgson (adică Lewis Carroll din Alice în Țara Minunilor) a inventat o metodă de calcul al determinanților numită condensarea Dodgson^⁠(d). Această metodă nu funcționează întotdeauna în forma ei originală.

Bibliografie

• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, tradus de Meldrum, John D. P., Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, James R.; Hopcroft, John E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231–236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . hdl:1813/6003 . 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Algoritmi geometrici mai rapizi prin calcul determinant dinamic”, Computational Geometry, 54: 1–16, arXiv:1206.7067 , doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A History of Abstract Algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 
• Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (ed. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (2018) [1985]. Matrix Analysis (ed. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 
• Lang, Serge (1985), Introduction to Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (ed. 2), Springer, ISBN 9780387962054 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (ed. 3), Springer, ISBN 9780387964126 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Rote, Günter (2001), „Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches” (PDF), Computational discrete mathematics, Lecture Notes in Comput. Sci., 2122, Springer, pp. 119–135, doi:10.1007/3-540-45506-X_9 , ISBN 978-3-540-42775-9, MR 1911585, arhivat din original (PDF) la 1 februarie 2007, accesat în 4 iunie 2020 
• Eves, Howard (1990), An introduction to the history of mathematics (ed. 6), Saunders College Publishing, ISBN 0-03-029558-0, MR 1104435 
• Grattan-Guinness, I., ed. (2003), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Johns Hopkins University Press, ISBN 9780801873966 
• Cajori, Florian (1993), A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals, Dover, ISBN 0-486-67766-4, MR 3363427 
• Trefethen, Nick; Bau III, David (1997), Numerical Linear Algebra (ed. 1st), Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (ed. 3rd), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 

Lectură suplimentară

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (ed. 9th), Wiley International 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (ed. 3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, JSTOR 2004533, arhivat din original (PDF) la 25 octombrie 2012 
• de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, arhivat din original (PDF) la 1 septembrie 2006 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Arhivat din original (PDF) la 5 mai 2019. 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 
• Lay, David C. (22 august 2005), Linear Algebra and Its Applications (ed. 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (15 februarie 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, arhivat din original la 31 octombrie 2009 
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Algebra liniară: o introducere modernă (ed. 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• G. Baley Price (1947) „Some identities in the theory of determinants”, American Mathematical Monthly 54:75–90, MR: 0019078
• Leon, Steven J. (2006), Algebra liniară cu aplicații (ed. 7th), Pearson Prentice Hall 
• Bézout, Étienne (1779), Théorie générale des equations algébriques, Paris 
• Cayley, Arthur (1841), „On a theorem in the geometry of position”, Cambridge Mathematical Journal, 2: 267–271 
• Cramer, Gabriel (1750), Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève: Frères Cramer & Cl. Philibert, doi:10.3931/e-rara-4048 
• Jacobi, Carl Gustav Jakob (1841), „De Determinantibus functionalibus”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1841 (22): 320–359, doi:10.1515/crll.1841.22.319 
• Laplace, Pierre-Simon, de (1772), „Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde”, Histoire de l'Académie Royale des Sciences, Paris (seconde partie): 267–376 
• Robert Forsyth Scott (1880): A Treatise on the Theory of Determinants and Their Applications in Analysis and Geometry, Cambridge University Press
• E. R. Hedrick: On Three Dimensional Determinants, Annals of Mathematics, Vol.1, No.1/4 (1899-1900), pp.49-67 (19pages). https://doi.org/10.2307/1967268 # Note: This is not the ordinal determinant.

Legături externe

• Materiale media legate de determinant la Wikimedia Commons
• Suprunenko, D.A. (2001), „Determinant”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• en Eric W. Weisstein, Determinant la MathWorld.
• en O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Matrices and determinants”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
• en Determinant Interactive Program and Tutorial
• en Linear algebra: determinants. Arhivat în 4 decembrie 2008, la Wayback Machine. Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
• en Determinant Calculator Calculator for matrix determinants, up to the 8th order.
• en Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages

• en Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course. Arhivat în 1 noiembrie 2019, la Wayback Machine.