Tangens

Tangens
Basegenskaper
Paritet	Udda
Definitionsmängd	x ≠ (k + ½)π, k∈ℤ
Värdemängd	(−∞,∞)
Period	π
Särskilda värden
Maxima	∞ (ingen)
Minima	–∞ (ingen)
Särskilda egenskaper
Kritisk punkt	Ingen
Inflexionspunkt	kπ, k∈ℤ
Fixpunkt	0

Tangens (tan, ibland tg) är en trigonometrisk funktion och definieras som

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Alternativt kan tangens definieras med hjälp av en rätvinklig triangel

med vinkeln α mellan en katet och hypotenusan. Tangens för α är förhållandet mellan längden av motstående katet och längden av närstående katet:

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

Om z är komplext gäller

$\tan z={\cfrac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {i} (e^{-\mathrm {i} z}+e^{\mathrm {i} z})}}$

Tangensfunktionen definieras också av serieutvecklingen

${\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots$ ;\,\,|x|<{\frac {\pi }{2}}}

Egenskaper

Samband mellan vinklar

$\tan(\alpha +\beta )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\cfrac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(2\alpha )={\cfrac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan {\cfrac {\alpha }{2}}={\cfrac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}$

$\tan(\alpha +\beta +\gamma )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \,\tan \beta \,\tan \gamma }{1-\tan \beta \,\tan \gamma -\tan \gamma \,\tan \alpha -\tan \alpha \,\tan \beta }}$

$\tan \left(\sum _{1}^{N}=i\,\theta _{n}\right)={\cfrac {\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})-\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})}{\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})+(\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})}}$

Derivata

${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\cfrac {2}{\cos 2x+1}}$

Integral

$\int \tan x\,dx=-\ln \cos x+C$

Se även

• Tangenssatsen
• Trigonometriska identiteter

Referenser