andregradsfunksjon

I mekanikk kan høyden til en gjenstand som kastes beskrives med en andregradsfunksjon hvis man ser bort fra luftmotstanden.

Hvis en gjenstand kastes fra en høyde på 2 meter og har en hastighet på 8 meter per sekund (m/s), kan høyden til gjenstanden mens den flyr gjennom luften skrives som en andregradsfunksjon:

\[y(t) = -4.9t^2 + 8t + 2\]

Høyden \(y(t)\) måles i meter og avhenger av tiden \(t\) som måles i sekunder. Kastebanen er en parabel som åpner nedover. Parabelen har et toppunkt som er det høyeste punktet på banen.

Fra funksjonen kan man regne ut hvor høyt gjenstanden kastes, ved hvilket tidspunkt gjenstanden er i høyeste posisjon og hvor lang tid det tar før den treffer bakken.

Skjæringspunktet mellom grafen til en andregradsfunksjon og den vertikale aksen er gitt ved \(y = c\) siden \(f(x) = c\) når \(x=0\).

Skjæringspunktet mellom grafen til en andregradsfunksjon og den horisontale aksen, kalles et nullpunkt. En andregradsfunksjon kan ha opptil to reelle nullpunkt.

Hvis hele grafen ligger enten over eller under \(x\)-aksen, har den ingen nullpunkt. Hvis bunnpunktet eller toppunktet ligger akkurat på \(x\)-aksen har den bare ett nullpunkt.

For å regne ut eventuelle nullpunkt settes \(f(x) = 0\), som gir \(ax^2 + bx + c = 0\). For å løse denne ligningen brukes andregradsformelen:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\]

Andregradsfunksjonen \(f(x) = 2x^2 – 8\) krysser vertikalaksen i \(y = f(0) = -8\) og \(x\)-aksen i \(f(x) = 0\) som gir:

\[x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 – 4\cdot 2 \cdot (-8)}}{2\cdot 2} = \frac{\pm \sqrt{64}}{4} = \pm \frac{8}{4} = \pm 2\]

Grafen har derfor to nullpunkt, ett når \(x=-2\) og ett når \(x = 2\).

Andregradsfunksjonen \(f(x) = -x^2+4x-4\) krysser vertikalaksen i \(y = f(0) = -4\) og \(x\)-aksen i \(f(x) = 0\) som gir:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4\cdot (-1) \cdot (-4)}}{2\cdot (-1)} = \frac{-4 \pm 0}{-2} = 2\]

Grafen har derfor bare ett nullpunkt.

Andregradsfunksjonen \(f(x) = x^2 – 2x + 5\) krysser vertikalaksen i \(y = f(0) = 5\) og \(x\)-aksen i \(f(x) = 0\) som gir:

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}\]

Siden det som står under kvadratroten er negativt har ligningen ingen reelle løsninger. Grafen har derfor ingen nullpunkt.

Grafen til en andregradsfunksjon har alltid et ekstremalpunkt; enten et maksimum eller et minimum. Om ekstremalpunktet er et maksimum eller et minimum avgjøres av fortegnet til koeffisienten til \(x^2\), det vil si at det avhenger av fortegnet til \(a\) i uttrykket \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Hvis koeffisienten er positiv, \(a> 0\), åpner grafen oppover og den har derfor et punkt som er lavere enn alle andre punkt på grafen. Dette punktet kalles et minimum eller et bunnpunkt.

Hvis koeffisienten er negativ, \(a< 0\), åpner grafen nedover og har et punkt som er høyere enn alle andre punkt på grafen. Dette punktet kalles et maksimum eller et toppunkt.

For å finne ekstremalpunktet kan man enten finne punktet der den deriverte til funksjonen er lik null, eller finne symmetrilinjen.

Grafen til alle andregradsfunksjoner har en symmetrilinje som er vertikal og går gjennom ekstremalpunktet. Denne linjen deler grafen i to deler som er speilbilder av hverandre.

For å tegne grafen til en andregradsfunksjon kan man finne ekstremalpunktet og noen punkter på den ene siden av symmetrilinjen, og deretter speile punktene over på den andre siden av linjen.

Dersom grafen har to kjente nullpunkt, ligger symmetrilinjen midt mellom disse.

Hvis andregradsfunksjonen er \(f(x) = ax^2 + bx + c\), så er den deriverte:

\[f'(x) = 2ax + b\]

Den deriverte til funksjonen gir stigningstallet til funksjonen for forskjellige \(x\)-verdier. Stigningstallet forteller hvor mye funksjonen øker eller minker. Der stigningstallet er null, har funksjonen et maksimum eller et minimum. En vanlig måte å finne ekstremalpunktet er derfor å sette den deriverte lik null.