Teorija struna

U fizici, teorija struna je teorijski okvir u kojem su tačkaste čestice fizike čestica zamijenjene jednodimenzionalnim objektima zvanim strune. Teorija struna opisuje kako se ove strune šire kroz prostor i međusobno djeluju. Na skalama udaljenosti većim od skale strune, struna se ponaša kao čestica, pri čemu su njena masa, naboj i druga svojstva određena vibracionim stanjem strune. U teoriji struna, jedno od mnogih vibracionih stanja strune odgovara gravitonu, kvantnomehaničkoj čestici koja prenosi gravitacijsku silu. Stoga je teorija struna teorija kvantne gravitacije.

Teorija struna je široka i raznovrsna tema koja nastoji odgovoriti na niz dubokih pitanja fundamentalne fizike. Teorija struna dala je niz napredaka u matematičkoj fizici, koji su primijenjeni na različite probleme u fizici crnih rupa, kosmologiji ranog svemira, nuklearnoj fizici i fizici kondenzirane materije, te je potaknula niz velikih razvoja u čistoj matematici. Budući da teorija struna potencijalno pruža jedinstveni opis gravitacije i fizike čestica, ona je kandidat za teoriju svega, samodovoljan matematički model koji opisuje sve fundamentalne sile i oblike materije. Uprkos velikom radu na ovim problemima, nije poznato u kojoj mjeri teorija struna opisuje stvarni svijet ili koliko slobode teorija dopušta u izboru svojih detalja.

Teorija struna prvi put je proučavana kasnih 1960-ih kao teorija jake nuklearne sile, prije nego što je napuštena u korist kvantne hromodinamike. Zbog toga je shvaćeno da su upravo svojstva koja su teoriju struna činila nepogodnom kao teoriju nuklearne fizike čine obećavajućim kandidatom za kvantnu teoriju gravitacije. Najranija verzija teorije struna, bozonska teorija struna, uključivala je samo klasu čestica poznatih kao bozoni. Kasnije se razvila u teoriju superstruna, koja postulira vezu zvanu supersimetrija između bozona i klase čestica zvanih fermioni. Razvijeno je pet konzistentnih verzija teorije superstruna prije nego što je sredinom 1990-ih pretpostavljeno da su sve one različiti granični slučajevi jedne teorije u jedanaest dimenzija poznate kao M-teorija. Krajem 1997. teoretičari su otkrili važnu vezu nazvanu anti-de Sitter/konformna teorija polja korespondencija (AdS/CFT korespondencija), koja povezuje teoriju struna s drugom vrstom fizičke teorije zvanom kvantna teorija polja.

Jedan od izazova teorije struna je taj što potpuna teorija nema zadovoljavajuću definiciju u svim okolnostima. Drugi problem je što se smatra da teorija opisuje ogroman pejzaž mogućih svemira, što je otežalo napore za razvoj teorija fizike čestica zasnovanih na teoriji struna. Ovi problemi naveli su neke u zajednici da kritikuju ove pristupe fizici i da preispituju vrijednost daljnjeg istraživanja ujedinjenja teorije struna.

Osnove

Pregled

U 20. stoljeću pojavila su se dva teorijska okvira za formulisanje zakona fizike. Prvi je Einsteinova opća teorija relativnosti, teorija koja objašnjava silu gravitacije i strukturu prostorvremena na makro nivou. Drugi je kvantna mehanika, potpuno drugačija formulacija, koja koristi poznate principe vjerovatnoće za opisivanje fizičkih pojava na mikro nivou. Do kasnih 1970-ih, ova dva okvira pokazala su se dovoljnim za objašnjenje većine promatranih karakteristika svemira, od elementarnih čestica do atoma, do evolucije zvijezda i svemira u cjelini.^[1]

Uprkos tim uspjesima, još uvijek postoje mnogi problemi koje treba riješiti. Jedan od najdubljih problema u savremenoj fizici je problem kvantne gravitacije.^[1] Opća teorija relativnosti formulirana je u okviru klasične fizike, dok su druge fundamentalne sile opisane u okviru kvantne mehanike. Kvantna teorija gravitacije potrebna je kako bi se opća relativnost pomirila s principima kvantne mehanike, ali poteškoće nastaju kada se pokušaju primijeniti uobičajeni recepti kvantne teorije na silu gravitacije.^[2]

Teorija struna je teorijski okvir koji pokušava odgovoriti na ova pitanja.

Polazište teorije struna je ideja da se tačkaste čestice fizike čestica također mogu modelirati kao jednodimenzionalni objekti zvani strune. Teorija struna opisuje kako se strune šire kroz prostor i međusobno djeluju. U datoj verziji teorije struna, postoji samo jedna vrsta strune, koja može izgledati kao mala petlja ili segment obične strune, i može vibrirati na različite načine. Na skalama udaljenosti većim od skale strune, struna će izgledati baš kao obična čestica u skladu s nestrunskim modelima elementarnih čestica, pri čemu su njena masa, naboj i druga svojstva određena vibracionim stanjem strune. Primjena teorije struna kao oblika kvantne gravitacije predlaže vibraciono stanje odgovorno za graviton, još uvijek nedokazanu kvantnu česticu za koju se teoretizira da prenosi gravitacijsku silu.^[3]

Jedan od glavnih razvoja u proteklih nekoliko decenija u teoriji struna bilo je otkriće određenih 'dualnosti'—matematičkih transformacija koje poistovjećuju jednu fizičku teoriju s drugom. Fizičari koji proučavaju teoriju struna otkrili su niz ovih dualnosti između različitih verzija teorije struna, i to je dovelo do pretpostavke da su sve konzistentne verzije teorije struna obuhvaćene jednim jedinstvenim okvirom poznatim kao M-teorija.^[4]

Proučavanja teorije struna također su dala niz rezultata o prirodi crnih rupa i gravitacijske interakcije. Postoje određeni paradoksi koji nastaju kada se pokušavaju razumjeti kvantni aspekti crnih rupa, a rad na teoriji struna pokušao je razjasniti ova pitanja. Krajem 1997. ovaj pravac rada kulminirao je otkrićem anti-de Sitter/konformne teorije polja korespondencije (skraćeno AdS/CFT).^[5] Ovo je teorijski rezultat koji povezuje teoriju struna s drugim fizičkim teorijama koje su teorijski bolje razumljive. AdS/CFT korespondencija ima implikacije za proučavanje crnih rupa i kvantne gravitacije, a primijenjena je i na druge predmete, uključujući nuklearnu^[6] i fiziku kondenzirane materije.^[7]^[8]

Budući da teorija struna uključuje sve fundamentalne interakcije, uključujući gravitaciju, mnogi fizičari se nadaju da će se na kraju razviti do tačke u kojoj potpuno opisuje naš svemir, čineći je teorijom svega. Jedan od ciljeva trenutnih istraživanja u teoriji struna je pronaći rješenje teorije koje reprodukuje opaženi spektar elementarnih čestica, s malom kosmološkom konstantom, koje sadrži tamnu materiju i vjerodostojan mehanizam za kosmičku inflaciju. Iako je bilo napretka prema ovim ciljevima, nije poznato u kojoj mjeri teorija struna opisuje stvarni svijet ili koliko slobode teorija dopušta u izboru detalja.^[9]

Jedan od izazova teorije struna je taj što potpuna teorija nema zadovoljavajuću definiciju u svim okolnostima. Raspršenje struna najjednostavnije je definirano korištenjem tehnika teorije perturbacije, ali nije općenito poznato kako definirati teoriju struna neperturbativno.^[10] Također nije jasno postoji li ikakav princip po kojem teorija struna odabire svoje vakuumsko stanje, fizičko stanje koje određuje svojstva našeg svemira.^[11] Ovi problemi naveli su neke u zajednici da kritikuju ove pristupe ujedinjenju fizike i preispituju vrijednost daljnjeg istraživanja ovih problema.^[12]

Strune

Primjena kvantne mehanike na fizičke objekte kao što je elektromagnetsko polje, koji su prošireni u prostoru i vremenu, poznata je kao kvantna teorija polja. U fizici čestica, kvantne teorije polja čine osnovu za naše razumijevanje elementarnih čestica, koje su modelirane kao ekscitacije u fundamentalnim poljima.^[13]

U kvantnoj teoriji polja, obično se računaju vjerovatnoće različitih fizičkih događaja korištenjem tehnika teorije perturbacije. Razvijena od strane Richarda Feynmana i drugih u prvoj polovini dvadesetog stoljeća, perturbativna kvantna teorija polja koristi posebne dijagrame zvane Feynmanovi dijagrami za organizaciju proračuna. Zamišlja se da ovi dijagrami prikazuju putanje tačkastih čestica i njihove interakcije.^[13]

Polazište za teoriju struna je ideja da se tačkaste čestice kvantne teorije polja također mogu modelirati kao jednodimenzionalni objekti zvani strune.^[14] Interakcija struna najjednostavnije je definirana generalizacijom teorije perturbacije koja se koristi u običnoj kvantnoj teoriji polja. Na nivou Feynmanovih dijagrama, to znači zamjenu jednodimenzionalnog dijagrama koji predstavlja putanju tačkaste čestice dvodimenzionalnom (2D) površinom koja predstavlja kretanje strune.^[15] Za razliku od kvantne teorije polja, teorija struna nema potpunu neperturbativnu definiciju, pa su mnoga teorijska pitanja na koja fizičari žele odgovoriti nedostižna.^[16]

U teorijama fizike čestica zasnovanim na teoriji struna, karakteristična skala dužine struna pretpostavlja se da je reda Planckove dužine, ili $10 -35$ metara, skala na kojoj se vjeruje da efekti kvantne gravitacije postaju značajni.^[15] Na mnogo većim skalama dužine, kao što su skale vidljive u fizičkim laboratorijama, takvi objekti bi bili nerazlučivi od nuldimenzionalnih tačkastih čestica, a vibraciono stanje strune odredilo bi vrstu čestice. Jedno od vibracionih stanja strune odgovara gravitonu, kvantnomehaničkoj čestici koja prenosi gravitacijsku silu.^[3]

Originalna verzija teorije struna bila je bozonska teorija struna, ali ova verzija opisivala je samo bozone, klasu čestica koje prenose sile između čestica materije, ili fermiona. Bozonsku teoriju struna na kraju su zamijenile teorije zvane teorije superstruna. Ove teorije opisuju i bozone i fermione, i uključuju teorijsku ideju zvanu supersimetrija. U teorijama sa supersimetrijom, svaki bozon ima pandan koji je fermion, i obrnuto.^[17]

Postoji nekoliko verzija teorije superstruna: tip I, tip IIA, tip IIB, i dvije varijante heterotične teorije struna ( $SO (32)$ i $E 8 \times E 8$ ). Različite teorije dopuštaju različite vrste struna, a čestice koje se pojavljuju pri niskim energijama pokazuju različite simetrije. Na primjer, teorija tipa I uključuje i otvorene strune (koje su segmenti s krajnjim tačkama) i zatvorene strune (koje tvore zatvorene petlje), dok tipovi IIA, IIB i heterotične uključuju samo zatvorene strune.^[18]

Dodatne dimenzije

U svakodnevnom životu postoje tri poznate dimenzije (3D) prostora: visina, širina i dužina. Einsteinova opća teorija relativnosti tretira vrijeme kao dimenziju ravnu trima prostornim dimenzijama; u općoj relativnosti, prostor i vrijeme nisu modelirani kao odvojeni entiteti, već su ujedinjeni u četverodimenzionalni (4D) prostorvrijeme. U ovom okviru, fenomen gravitacije posmatra se kao posljedica geometrije prostorvremena.^[19]

Uprkos činjenici da je svemir dobro opisan 4D prostorvremenom, postoji nekoliko razloga zašto fizičari razmatraju teorije u drugim dimenzijama. U nekim slučajevima, modeliranjem prostorvremena u različitom broju dimenzija, teorija postaje matematički pristupačnija, i mogu se lakše izvoditi proračuni i sticati opći uvidi.^[a] Postoje i situacije u kojima su teorije u dvije ili tri dimenzije prostorvremena korisne za opisivanje pojava u fizici kondenzirane materije.^[13] Konačno, postoje scenariji u kojima bi zapravo moglo biti više od 4D prostorvremena koji su ipak uspjeli izbjeći otkrivanje.^[20]

Teorije struna zahtijevaju dodatne dimenzije prostorvremena radi svoje matematičke konzistentnosti. U bozonskoj teoriji struna, prostorvrijeme je 26-dimenzionalno, dok je u teoriji superstruna 10-dimenzionalno, a u M-teoriji je 11-dimenzionalno. Da bi se opisali stvarni fizički fenomeni koristeći teoriju struna, moraju se stoga zamisliti scenariji u kojima se te dodatne dimenzije ne bi opažale u eksperimentima.^[21]

Kompaktifikacija je jedan od načina modificiranja broja dimenzija u fizičkoj teoriji. Kod kompaktifikacije, pretpostavlja se da se neke od dodatnih dimenzija "zatvaraju" same u sebe tvoreći kružnice.^[22] U granici kada ove smotane dimenzije postanu vrlo male, dobija se teorija u kojoj prostorvrijeme efektivno ima manji broj dimenzija. Standardna analogija za ovo je razmatranje višedimenzionalnog objekta poput baštenskog crijeva. Ako se crijevo posmatra s dovoljne udaljenosti, čini se da ima samo jednu dimenziju, svoju dužinu. Međutim, kako se približavamo crijevu, otkrivamo da ono sadrži drugu dimenziju, svoj obim. Dakle, mrav koji puzi po površini crijeva kretao bi se u dvije dimenzije.

Kompaktifikacija se može koristiti za konstrukciju modela u kojima je prostorvrijeme efektivno četvorodimenzionalno. Međutim, ne proizvodi svaki način kompaktificiranja dodatnih dimenzija model s pravim svojstvima za opis prirode. U održivom modelu fizike čestica, kompaktne dodatne dimenzije moraju biti oblikovane poput Calabi–Yau mnogostrukosti.^[22] Calabi–Yau mnogostrukost je poseban topološki prostor za koji se obično uzima da je šestodimenzionalan u primjenama na teoriju struna. Nazvana je po matematičarima Eugenio Calabi i Shing-Tung Yau.^[23]

Drugi pristup smanjenju broja dimenzija je takozvani scenarij svijeta na brani. U ovom pristupu, fizičari pretpostavljaju da je vidljivi svemir četvorodimenzionalni potprostor višedimenzionalnog prostora. U takvim modelima, bozoni koji prenose sile u fizici čestica nastaju od otvorenih struna čiji su krajevi pričvršćeni za četvorodimenzionalni potprostor, dok gravitacija nastaje od zatvorenih struna koje se šire kroz veći okolni prostor. Ova ideja igra važnu ulogu u pokušajima razvoja modela fizike stvarnog svijeta zasnovanih na teoriji struna, i pruža prirodno objašnjenje za slabost gravitacije u poređenju s drugim fundamentalnim silama.^[24]

Dualnosti

Značajna činjenica o teoriji struna je da se sve različite verzije teorije ispostavljaju povezanima na vrlo netrivijalne načine. Jedan od odnosa koji može postojati između različitih teorija struna zove se S-dualnost. To je odnos koji kaže da se skupina snažno međudjelujućih čestica u jednoj teoriji može, u nekim slučajevima, posmatrati kao skupina slabo međudjelujućih čestica u potpuno drugoj teoriji. Grubo rečeno, za skup čestica se kaže da je snažno međudjelujući ako se često kombinuju i raspadaju, a slabo međudjelujući ako to čine rijetko. Teorija struna tipa I ispostavlja se ekvivalentnom putem S-dualnosti heterotičnoj teoriji struna $SO (32)$ . Slično tome, teorija struna tipa IIB povezana je sama sa sobom na netrivijalan način putem S-dualnosti.^[25]

Drugi odnos između različitih teorija struna je T-dualnost. Ovdje se razmatraju strune koje se šire oko kružne dodatne dimenzije. T-dualnost kaže da je struna koja se šire oko kružnice poluprečnika $R$ ekvivalentna struni koja se šire oko kružnice poluprečnika $1/ R$ u smislu da se sve vidljive veličine u jednom opisu poistovjećuju s veličinama u dualnom opisu. Na primjer, struna ima impuls dok se šire oko kružnice, a može se i namotavati oko kružnice jednom ili više puta. Broj puta koji se struna namota oko kružnice zove se namotajni broj. Ako struna ima impuls $p$ i namotajni broj $n$ u jednom opisu, imat će impuls $n$ i namotajni broj $p$ u dualnom opisu. Na primjer, teorija struna tipa IIA ekvivalentna je teoriji struna tipa IIB putem T-dualnosti, a dvije verzije heterotične teorije struna također su povezane T-dualnošću.^[25]

Općenito, pojam dualnost odnosi se na situaciju u kojoj se dva naizgled različita fizička sistema ispostavljaju ekvivalentnima na netrivijalan način. Dvije teorije povezane dualnošću ne moraju biti teorije struna. Na primjer, Montonen–Olive dualnost je primjer S-dualnosti između kvantnih teorija polja. AdS/CFT korespondencija je primjer dualnosti koja povezuje teoriju struna s kvantnom teorijom polja. Ako su dvije teorije povezane dualnošću, to znači da se jedna teorija može transformisati na neki način tako da na kraju izgleda baš poput druge teorije. Za te dvije teorije se tada kaže da su dualne jedna drugoj pod datom transformacijom. Drugačije rečeno, te dvije teorije su matematički različiti opisi istih fenomena.^[26]

Brane

U teoriji struna i drugim srodnim teorijama, brana je fizički objekt koji generalizuje pojam tačkaste čestice na više dimenzije. Na primjer, tačkasta čestica se može posmatrati kao brana dimenzije nula, dok se struna može posmatrati kao brana dimenzije jedan. Također je moguće razmatrati višedimenzionalne brane. U dimenziji p, one se nazivaju p-brane. Riječ brana dolazi od riječi "membrana" koja se odnosi na dvodimenzionalnu branu.^[27]

Brane su dinamički objekti koji se mogu širiti kroz prostorvrijeme prema pravilima kvantne mehanike. Imaju masu i mogu imati druge atribute kao što je naboj. p-brana prebriše (p+1)-dimenzionalnu zapreminu u prostorvremenu zvanu njen svjetski volumen. Fizičari često proučavaju polja analogna elektromagnetskom polju koja žive na svjetskom volumenu brane.^[27]

U teoriji struna, D-brane su važna klasa brana koje nastaju kada se razmatraju otvorene strune. Dok se otvorena struna širi kroz prostorvrijeme, njeni krajevi moraju ležati na D-brani. Slovo "D" u D-brani odnosi se na određeni matematički uslov za sistem poznat kao Dirichletov granični uslov. Proučavanje D-brana u teoriji struna dovelo je do važnih rezultata kao što je AdS/CFT korespondencija, koja je bacila svjetlo na mnoge probleme u kvantnoj teoriji polja.^[27]

Brane se često proučavaju sa čisto matematičkog stanovišta, a opisuju se kao objekti određenih kategorija, kao što su izvedena kategorija koherentnih snopova na kompleksnoj algebarskoj mnogostrukosti, ili Fukayeva kategorija simplektičke mnogostrukosti.^[28] Veza između fizičkog pojma brane i matematičkog pojma kategorije dovela je do važnih matematičkih uvida u područjima algebarske i simplektičke geometrije^[29] i teorije reprezentacija.^[30]

M-teorija

Prije 1995, teoretičari su vjerovali da postoji pet konzistentnih verzija teorije superstruna (tip I, tip IIA, tip IIB, i dvije verzije heterotične teorije struna). Ovo shvatanje se promijenilo 1995. kada je Edward Witten sugerisao da su tih pet teorija samo posebni granični slučajevi jedanaestodimenzionalne teorije zvane M-teorija. Wittenova pretpostavka zasnivala se na radu niza drugih fizičara, uključujući Ashoke Sena, Chris Hulla, Paul Townsenda i Michael Duffa. Njegova najava dovela je do naleta istraživačke aktivnosti sada poznate kao druga revolucija superstruna.^[31]

Ujedinjenje teorija superstruna

U 1970-im, mnogi fizičari su se zainteresovali za teorije supergravitacije, koje kombinuju opću relativnost sa supersimetrijom. Dok opća relativnost ima smisla u bilo kojem broju dimenzija, supergravitacija postavlja gornju granicu na broj dimenzija.^[32] Godine 1978, rad Wernera Nahma pokazao je da je maksimalna dimenzija prostorvremena u kojoj se može formulisati konzistentna supersimetrična teorija jedanaest.^[33] Iste godine, Eugene Cremmer, Bernard Julia i Joël Scherk sa École Normale Supérieure pokazali su da supergravitacija ne samo da dopušta do jedanaest dimenzija, već je zapravo najelegantnija u ovom maksimalnom broju dimenzija.^[34]^[35]

U početku su se mnogi fizičari nadali da bi se kompaktifikacijom jedanaestodimenzionalne supergravitacije mogli konstruisati realistični modeli našeg četvorodimenzionalnog svijeta. Nada je bila da bi takvi modeli pružili jedinstveni opis četiri fundamentalne sile prirode: elektromagnetizma, jake i slabe nuklearne sile i gravitacije. Interes za jedanaestodimenzionalnu supergravitaciju ubrzo je splasnuo kada su otkriveni različiti nedostaci ove sheme. Jedan od problema bio je taj što se čini da zakoni fizike razlikuju smjer kazaljke na satu od suprotnog, fenomen poznat kao hiralnost. Edward Witten i drugi su primijetili da se ovo svojstvo hiralnosti ne može lako izvesti kompaktifikacijom iz jedanaest dimenzija.^[35]

U prvoj revoluciji superstruna 1984, mnogi fizičari su se okrenuli teoriji struna kao jedinstvenoj teoriji fizike čestica i kvantne gravitacije. Za razliku od teorije supergravitacije, teorija struna je mogla prihvatiti hiralnost Standardnog modela i pružila je teoriju gravitacije konzistentnu s kvantnim efektima.^[35] Još jedna karakteristika teorije struna koja je privukla mnoge fizičare 1980-ih i 1990-ih bila je njen visok stepen jedinstvenosti. U običnim teorijama čestica, može se razmatrati bilo koja kolekcija elementarnih čestica čije je klasično ponašanje opisano proizvoljnim Lagranžijanom. U teoriji struna, mogućnosti su mnogo ograničenije: do 1990-ih, fizičari su tvrdili da postoji samo pet konzistentnih supersimetričnih verzija teorije.^[35]

Iako je postojalo samo nekoliko konzistentnih teorija superstruna, ostala je misterija zašto ne postoji samo jedna konzistentna formulacija.^[35] Međutim, kako su fizičari počeli detaljnije proučavati teoriju struna, shvatili su da su ove teorije povezane na složene i netrivijalne načine. Otkrili su da se sistem snažno međudjelujućih struna može, u nekim slučajevima, posmatrati kao sistem slabo međudjelujućih struna. Ovaj fenomen je poznat kao S-dualnost. Proučavao ga je Ashoke Sen u kontekstu heterotičnih struna u četiri dimenzije^[36]^[37] i Chris Hull i Paul Townsend u kontekstu teorije tipa IIB.^[38] Teoretičari su također otkrili da različite teorije struna mogu biti povezane T-dualnošću. Ova dualnost implicira da strune koje se šire na potpuno različitim geometrijama prostorvremena mogu biti fizički ekvivalentne.^[39]

Otprilike u isto vrijeme, dok su mnogi fizičari proučavali svojstva struna, mala grupa fizičara je ispitivala moguće primjene višedimenzionalnih objekata. Godine 1987, Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin i Paul Townsend pokazali su da jedanaestodimenzionalna supergravitacija uključuje dvodimenzionalne brane.^[40] Intuitivno, ovi objekti izgledaju kao listovi ili membrane koje se šire kroz jedanaestodimenzionalni prostorvrijeme. Ubrzo nakon ovog otkrića, Michael Duff, Paul Howe, Takeo Inami i Kellogg Stelle razmatrali su posebnu kompaktifikaciju jedanaestodimenzionalne supergravitacije sa jednom od dimenzija smotanom u kružnicu.^[41] U ovom okruženju, može se zamisliti membrana koja se omotava oko kružne dimenzije. Ako je poluprečnik kružnice dovoljno mali, onda ova membrana izgleda baš kao struna u desetodimenzionalnom prostorvremenu. Duff i njegovi saradnici pokazali su da ova konstrukcija reprodukuje upravo strune koje se pojavljuju u teoriji superstruna tipa IIA.^[42]

Govoreći na konferenciji o teoriji struna 1995, Edward Witten je iznio iznenađujuću sugestiju da su svih pet teorija superstruna zapravo samo različiti granični slučajevi jedne teorije u jedanaest dimenzija prostorvremena. Wittenova najava objedinila je sve prethodne rezultate o S- i T-dualnosti i pojavu višedimenzionalnih brana u teoriji struna.^[43] U mjesecima nakon Wittenove najave, stotine novih radova pojavile su se na internetu potvrđujući različite dijelove njegovog prijedloga.^[44] Danas je ovaj nalet rada poznat kao druga revolucija superstruna.^[45]

U početku su neki fizičari sugerisali da je nova teorija fundamentalna teorija membrana, ali Witten je bio skeptičan prema ulozi membrana u teoriji. U radu iz 1996, Hořava i Witten su napisali: "Budući da je predloženo da je jedanaestodimenzionalna teorija teorija supermembrana, ali postoje neki razlozi za sumnju u tu interpretaciju, mi ćemo je neobavezujuće nazvati M-teorija, prepuštajući budućnosti odnos M prema membranama."^[46] U nedostatku razumijevanja pravog značenja i strukture M-teorije, Witten je sugerisao da bi M trebalo da stoji za "magija", "misterija" ili "membrana" prema ukusu, a pravo značenje naziva treba odlučiti kada bude poznata fundamentalnija formulacija teorije.^[47]

Matrična teorija

U matematici, matrica je pravougaoni niz brojeva ili drugih podataka. U fizici, matrični model je posebna vrsta fizičke teorije čija matematička formulacija uključuje pojam matrice na važan način. Matrični model opisuje ponašanje skupa matrica u okviru kvantne mehanike.^[48]

Jedan važan primjer matričnog modela je BFSS matrični model koji su predložili Tom Banks, Willy Fischler, Stephen Shenker i Leonard Susskind 1997. Ova teorija opisuje ponašanje skupa od devet velikih matrica. U svom originalnom radu, ovi autori su, između ostalog, pokazali da je niskoenergetska granica ovog matričnog modela opisana jedanaestodimenzionalnom supergravitacijom. Ovi proračuni su ih naveli da predlože da je BFSS matrični model tačno ekvivalentan M-teoriji. BFSS matrični model se stoga može koristiti kao prototip za ispravnu formulaciju M-teorije i kao alat za istraživanje svojstava M-teorije u relativno jednostavnom okruženju.^[48]

Razvoj formulacije M-teorije pomoću matričnog modela naveo je fizičare da razmatraju različite veze između teorije struna i grane matematike zvane nekomutativna geometrija. Ovaj predmet je generalizacija obične geometrije u kojoj matematičari definišu nove geometrijske pojmove koristeći alate iz nekomutativne algebre.^[49] U radu iz 1998, Alain Connes, Michael R. Douglas i Albert Schwarz pokazali su da su neki aspekti matričnih modela i M-teorije opisani nekomutativnom kvantnom teorijom polja, posebnom vrstom fizičke teorije u kojoj je prostorvrijeme matematički opisano pomoću nekomutativne geometrije.^[50] Ovo je uspostavilo vezu između matričnih modela i M-teorije s jedne strane, i nekomutativne geometrije s druge strane. To je brzo dovelo do otkrića drugih važnih veza između nekomutativne geometrije i raznih fizičkih teorija.^[51]^[52]

Crne rupe

U općoj relativnosti, crna rupa je definirana kao oblast prostorvremena u kojoj je gravitacijsko polje toliko snažno da nijedna čestica ili zračenje ne mogu pobjeći. U trenutno prihvaćenim modelima zvjezdane evolucije, smatra se da crne rupe nastaju kada masivne zvijezde dožive gravitacijski kolaps, a za mnoge galaksije se smatra da sadrže supermassivne crne rupe u svojim centrima. Crne rupe su također važne iz teorijskih razloga, jer predstavljaju duboke izazove za teoretičare koji pokušavaju razumjeti kvantne aspekte gravitacije. Teorija struna se pokazala kao važan alat za istraživanje teorijskih svojstava crnih rupa jer pruža okvir u kojem teoretičari mogu proučavati njihovu termodinamiku.^[53]

Bekenstein–Hawkingova formula

U grani fizike koja se zove statistička mehanika, entropija je mjera slučajnosti ili nereda fizičkog sistema. Ovaj koncept je 1870-ih proučavao austrijski fizičar Ludwig Boltzmann, koji je pokazao da se termodinamička svojstva gasa mogu izvesti iz kombinovanih svojstava njegovih mnogobrojnih sastavnih molekula. Boltzmann je tvrdio da se usrednjavanjem ponašanja svih različitih molekula u gasu mogu razumjeti makroskopska svojstva kao što su zapremina, temperatura i pritisak. Pored toga, ova perspektiva ga je navela da da preciznu definiciju entropije kao prirodnog logaritma broja različitih stanja molekula (također zvanih mikrostanja) koja dovode do istih makroskopskih karakteristika.^[54]

U dvadesetom stoljeću, fizičari su počeli primjenjivati iste koncepte na crne rupe. U većini sistema kao što su gasovi, entropija se skalira sa zapreminom. Godine 1970-ih, fizičar Jacob Bekenstein je sugerisao da je entropija crne rupe umjesto toga proporcionalna površini njenog horizonta događaja, granici iza koje materija i zračenje ne mogu pobjeći njenom gravitacijskom privlačenju.^[55] Kada se kombinuje sa idejama fizičara Stephena Hawkinga,^[56] Bekensteinov rad je dao preciznu formulu za entropiju crne rupe. Bekenstein–Hawkingova formula izražava entropiju $S$ kao

S={\frac {c^{3}kA}{4\hbar G}}

gdje je $c$ brzina svjetlosti, $k$ Boltzmannova konstanta, $ħ$ redukovana Planckova konstanta, $G$ Newtonova konstanta, a $A$ površina horizonta događaja.^[57]

Kao i svaki fizički sistem, crna rupa ima entropiju definisanu u smislu broja različitih mikrostanja koja dovode do istih makroskopskih karakteristika. Bekenstein–Hawkingova formula entropije daje očekivanu vrijednost entropije crne rupe, ali do 1990-ih, fizičari još uvijek nisu imali izvođenje ove formule prebrojavanjem mikrostanja u teoriji kvantne gravitacije. Pronalaženje takvog izvođenja ove formule smatralo se važnim testom održivosti bilo koje teorije kvantne gravitacije kao što je teorija struna.^[58]

Izvođenje unutar teorije struna

U radu iz 1996, Andrew Strominger i Cumrun Vafa su pokazali kako izvesti Bekenstein–Hawkingovu formulu za određene crne rupe u teoriji struna.^[59] Njihov proračun se zasnivao na zapažanju da D-brane—koje izgledaju kao fluktuirajuće membrane kada su slabo međudjelujuće—postaju gusti, masivni objekti s horizontima događaja kada su interakcije jake. Drugim riječima, sistem snažno međudjelujućih D-brana u teoriji struna ne može se razlikovati od crne rupe. Strominger i Vafa su analizirali takve sisteme D-brana i izračunali broj različitih načina postavljanja D-brana u prostorvrijeme tako da njihova kombinovana masa i naboj budu jednaki datoj masi i naboju za rezultujuću crnu rupu. Njihov proračun je tačno reproducirao Bekenstein–Hawkingovu formulu, uključujući faktor $1/4$ .^[60] Naknadni rad Stromingera, Vafe i drugih usavršio je originalne proračune i dao precizne vrijednosti "kvantnih korekcija" potrebnih za opisivanje vrlo malih crnih rupa.^[61]^[62]

Crne rupe koje su Strominger i Vafa razmatrali u svom originalnom radu bile su prilično različite od stvarnih astrofizičkih crnih rupa. Jedna razlika je bila ta što su Strominger i Vafa razmatrali samo ekstremne crne rupe kako bi proračun bio izvodljiv. One su definirane kao crne rupe s najmanjom mogućom masom kompatibilnom sa datim nabojem.^[63] Strominger i Vafa su također ograničili pažnju na crne rupe u petodimenzionalnom prostorvremenu s nefizikalnom supersimetrijom.^[64]

Iako je prvobitno razvijen u ovom vrlo posebnom i fizički nerealnom kontekstu u teoriji struna, proračun entropije Stromingera i Vafe doveo je do kvalitativnog razumijevanja kako se entropija crne rupe može objasniti u bilo kojoj teoriji kvantne gravitacije. Zaista, 1998. godine, Strominger je tvrdio da se originalni rezultat može generalizirati na proizvoljnu konzistentnu teoriju kvantne gravitacije bez oslanjanja na strune ili supersimetriju.^[65] U saradnji sa nekoliko drugih autora 2010. godine, pokazao je da se neki rezultati o entropiji crnih rupa mogu proširiti na neekstremne astrofizičke crne rupe.^[66]^[67]

AdS/CFT korespondencija

Jedan pristup formulisanju teorije struna i proučavanju njenih svojstava pruža anti-de Sitter/konformna teorija polja (AdS/CFT) korespondencija. Ovo je teorijski rezultat koji implicira da je teorija struna u nekim slučajevima ekvivalentna kvantnoj teoriji polja. Pored pružanja uvida u matematičku strukturu teorije struna, AdS/CFT korespondencija je bacila svjetlo na mnoge aspekte kvantne teorije polja u režimima gdje su tradicionalne tehnike proračuna neefikasne.^[6] AdS/CFT korespondenciju prvi je predložio Juan Maldacena krajem 1997.^[68] Važne aspekte korespondencije razradili su u člancima Steven Gubser, Igor Klebanov i Alexander Markovich Polyakov,^[69] i Edward Witten.^[70] Do 2010. godine, Maldacenin članak imao je preko 7000 citata, postavši najcitiraniji članak u području fizike visokih energija.^[b]

Pregled korespondencije

U AdS/CFT korespondenciji, geometrija prostorvremena je opisana u smislu određenog vakuumskog rješenja Einsteinove jednačine zvanog anti-de Sitterov prostor.^[6] Vrlo elementarno rečeno, anti-de Sitterov prostor je matematički model prostorvremena u kojem je pojam udaljenosti između tačaka (metrika) drugačiji od pojma udaljenosti u običnoj euklidskoj geometriji. Usko je povezan sa hiperboličkim prostorom, koji se može posmatrati kao disk kao što je ilustrovano lijevo, ili iznad.^[71] Ova slika prikazuje teselaciju diska trouglovima i kvadratima. Udaljenost između tačaka ovog diska može se definirati na takav način da su svi trouglovi i kvadrati iste veličine, a kružna vanjska granica je beskonačno udaljena od bilo koje tačke u unutrašnjosti.^[72]

Može se zamisliti niz hiperboličkih diskova gdje svaki disk predstavlja stanje svemira u datom trenutku. Rezultujući geometrijski objekt je trodimenzionalni anti-de Sitterov prostor.^[71] Izgleda kao puni cilindar u kojem je bilo koji presjek kopija hiperboličkog diska. Vrijeme teče duž vertikalnog pravca na ovoj slici. Površina ovog cilindra igra važnu ulogu u AdS/CFT korespondenciji. Kao i kod hiperboličke ravni, anti-de Sitterov prostor je zakrivljen na takav način da je bilo koja tačka u unutrašnjosti zapravo beskonačno udaljena od ove granične površine.^[72]

Cilindar formiran slaganjem kopija diska ilustrovanog na prethodnoj slici — Trodimenzionalni anti-de Sitterov prostor je poput niza hiperboličkih diskova, od kojih svaki predstavlja stanje svemira u datom trenutku. Rezultujući prostorvrijeme izgleda kao puni cilindar.

Ova konstrukcija opisuje hipotetički svemir sa samo dvije prostorne dimenzije i jednom vremenskom dimenzijom, ali se može generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Zaista, hiperbolički prostor može imati više od dvije dimenzije i mogu se "slagati" kopije hiperboličkog prostora da bi se dobili višedimenzionalni modeli anti-de Sitterovog prostora.^[71]

Važna karakteristika anti-de Sitterovog prostora je njegova granica (koja izgleda kao cilindar u slučaju trodimenzionalnog anti-de Sitterovog prostora). Jedno svojstvo ove granice je da, unutar male oblasti na površini oko bilo koje date tačke, izgleda baš kao Minkowskijev prostor, model prostorvremena koji se koristi u negravitacijskoj fizici.^[73] Stoga se može razmatrati pomoćna teorija u kojoj je "prostorvrijeme" dato granicom anti-de Sitterovog prostora. Ovo opažanje je polazište za AdS/CFT korespondenciju, koja kaže da se granica anti-de Sitterovog prostora može smatrati "prostorvremenom" za kvantnu teoriju polja. Tvrdnja je da je ova kvantna teorija polja ekvivalentna gravitacijskoj teoriji, kao što je teorija struna, u unutrašnjosti anti-de Sitterovog prostora u smislu da postoji "rječnik" za prevođenje entiteta i proračuna u jednoj teoriji u njihove pandane u drugoj teoriji. Na primjer, jedna čestica u gravitacijskoj teoriji mogla bi odgovarati nekom skupu čestica u graničnoj teoriji. Pored toga, predviđanja u dvije teorije su kvantitativno identična, tako da ako dvije čestice imaju 40 posto šanse za sudar u gravitacijskoj teoriji, onda bi i odgovarajući skupovi u graničnoj teoriji također imali 40 posto šanse za sudar.^[74]

Primjene na kvantnu gravitaciju

Otkriće AdS/CFT korespondencije bio je veliki napredak u razumijevanju teorije struna i kvantne gravitacije od strane fizičara. Jedan od razloga za to je što korespondencija pruža formulaciju teorije struna u terminima kvantne teorije polja, koja je relativno dobro razumljiva. Drugi razlog je što pruža opći okvir u kojem fizičari mogu proučavati i pokušavati riješiti paradokse crnih rupa.^[53]

Godine 1975, Stephen Hawking je objavio proračun koji je sugerisao da crne rupe nisu potpuno crne već emituju slabo zračenje zbog kvantnih efekata u blizini horizonta događaja.^[56] U početku, Hawkingov rezultat je predstavljao problem za teoretičare jer je sugerisao da crne rupe uništavaju informacije. Preciznije, Hawkingov proračun je izgledao u suprotnosti sa jednim od osnovnih postulata kvantne mehanike, koji kaže da fizički sistemi evoluiraju u vremenu prema Schrödingerovoj jednačini. Ovo svojstvo se obično naziva unitarnost vremenske evolucije. Prividna kontradikcija između Hawkingovog proračuna i postulata unitarnosti kvantne mehanike postala je poznata kao paradoks informacija u crnim rupama.^[75]

AdS/CFT korespondencija rješava paradoks informacija u crnim rupama, barem u određenoj mjeri, jer pokazuje kako crna rupa može evoluirati na način konzistentan s kvantnom mehanikom u nekim kontekstima. Zaista, mogu se razmatrati crne rupe u kontekstu AdS/CFT korespondencije, i svaka takva crna rupa odgovara konfiguraciji čestica na granici anti-de Sitterovog prostora.^[76] Te čestice se pokoravaju uobičajenim pravilima kvantne mehanike i posebno evoluiraju na unitaran način, tako da i crna rupa mora evoluirati na unitaran način, poštujući principe kvantne mehanike.^[77] Godine 2005, Hawking je objavio da je paradoks riješen u korist očuvanja informacija putem AdS/CFT korespondencije, i sugerisao je konkretan mehanizam pomoću kojeg bi crne rupe mogle sačuvati informacije.^[78]

Primjene na nuklearnu fiziku

Pored svojih primjena na teorijske probleme u kvantnoj gravitaciji, AdS/CFT korespondencija je primijenjena na razne probleme u kvantnoj teoriji polja. Jedan fizički sistem koji je proučavan pomoću AdS/CFT korespondencije je kvark-gluonska plazma, egzotično agregatno stanje proizvedeno u akceleratoriuma čestica. Ovo stanje materije nastaje na kratke trenutke kada se teški ioni poput zlata ili olova sudaraju pri visokim energijama. Takvi sudari uzrokuju da se kvarkovi koji čine atomska jezgra oslobode na temperaturama od približno dva biliona kelvina, uslovima sličnim onima koji su bili prisutni oko $10 -11$ sekundi nakon Velikog praska.^[79]

Fizika kvark-gluonske plazme upravljana je teorijom zvanom kvantna hromodinamika, ali ova teorija je matematički nepodložna u problemima koji uključuju kvark-gluonsku plazmu.^[c] U članku koji se pojavio 2005, Đàm Thanh Sơn i njegovi saradnici pokazali su da se AdS/CFT korespondencija može koristiti za razumijevanje nekih aspekata kvark-gluonske plazme opisujući je jezikom teorije struna.^[80] Primjenom AdS/CFT korespondencije, Sơn i njegovi saradnici su mogli opisati kvark-gluonsku plazmu u terminima crnih rupa u petodimenzionalnom prostorvremenu. Proračun je pokazao da bi omjer dvije veličine povezane s kvark-gluonskom plazmom, smična viskoznost i zapreninska gustoća entropije, trebao biti približno jednak određenoj univerzalnoj konstanti. Godine 2008, predviđena vrijednost ovog omjera za kvark-gluonsku plazmu potvrđena je na Relativističkom sudaraču teških iona u Brookhaven National Laboratory.^[7]^[81]

Primjene na fiziku kondenzirane materije

AdS/CFT korespondencija je također korištena za proučavanje aspekata fizike kondenzirane materije. Tokom decenija, eksperimentalni fizičari kondenzirane materije otkrili su niz egzotičnih stanja materije, uključujući supravodnike i superfluide. Ova stanja su opisana formalizmom kvantne teorije polja, ali neke fenomene je teško objasniti korištenjem standardnih tehnika teorije polja. Neki teoretičari kondenzirane materije, uključujući Subir Sachdeva, nadaju se da će AdS/CFT korespondencija omogućiti opisivanje ovih sistema jezikom teorije struna i saznanje više o njihovom ponašanju.^[7]

Do sada je postignut određeni uspjeh u korištenju metoda teorije struna za opisivanje prelaska superfluida u izolator. Superfluid je sistem električno neutralnih atoma koji teče bez ikakvog trenja. Takvi sistemi se često proizvode u laboratoriji korištenjem tečnog helijuma, ali nedavno su eksperimentatori razvili nove načine proizvodnje umjetnih superfluida sipajući trilione hladnih atoma u rešetku unakrsnih lasera. Ovi atomi se u početku ponašaju kao superfluid, ali kako eksperimentatori povećavaju intenzitet lasera, oni postaju manje pokretljivi i zatim naglo prelaze u izolatorsko stanje. Tokom prelaska, atomi se ponašaju na neobičan način. Na primjer, atomi usporavaju do zaustavljanja brzinom koja zavisi od temperature i od Planckove konstante, fundamentalnog parametra kvantne mehanike, koji ne ulazi u opis drugih faza. Ovo ponašanje je nedavno shvaćeno razmatranjem dualnog opisa gdje su svojstva fluida opisana u terminima višedimenzionalne crne rupe.^[8]

Fenomenologija

Pored toga što je ideja od značajnog teorijskog interesa, teorija struna pruža okvir za konstruisanje modela fizike stvarnog svijeta koji kombinuju opću relativnost i fiziku čestica. Fenomenologija je grana teorijske fizike u kojoj fizičari konstruišu realistične modele prirode iz apstraktnijih teorijskih ideja. Fenomenologija struna je dio teorije struna koji pokušava konstruisati realistične ili polu-realistične modele zasnovane na teoriji struna.

Djelimično zbog teorijskih i matematičkih poteškoća, a djelimično zbog izuzetno visokih energija potrebnih za eksperimentalno testiranje ovih teorija, do sada ne postoji eksperimentalni dokaz koji bi nedvosmisleno ukazao na to da je bilo koji od ovih modela ispravan fundamentalni opis prirode. To je navelo neke u zajednici da kritikuju ove pristupe ujedinjenju i preispitaju vrijednost daljnjeg istraživanja ovih problema.^[12]

Fizika čestica

Trenutno prihvaćena teorija koja opisuje elementarne čestice i njihove interakcije poznata je kao Standardni model fizike čestica. Ova teorija pruža jedinstveni opis tri od četiri fundamentalne sile prirode: elektromagnetizma i jake i slabe nuklearne sile. Uprkos svom izuzetnom uspjehu u objašnjavanju širokog spektra fizičkih fenomena, Standardni model ne može biti potpun opis stvarnosti. To je zato što Standardni model ne uspijeva uključiti silu gravitacije i zbog problema kao što su problem hijerarhije i nemogućnost objašnjenja strukture masa fermiona ili tamne materije.

Teorija struna je korištena za konstruisanje raznih modela fizike čestica koji prevazilaze Standardni model. Obično se takvi modeli zasnivaju na ideji kompaktifikacije. Polazeći od deset- ili jedanaestodimenzionalnog prostorvremena teorije struna ili M-teorije, fizičari postuliraju oblik za dodatne dimenzije. Odabirom ovog oblika na odgovarajući način, mogu konstruisati modele koji su grubo slični Standardnom modelu fizike čestica, zajedno sa dodatnim neotkrivenim česticama.^[82] Jedan popularan način izvođenja realistične fizike iz teorije struna je započeti s heterotičkom teorijom u deset dimenzija i pretpostaviti da je šest dodatnih dimenzija prostorvremena oblikovano poput šestodimenzionalne Calabi–Yau mnogostrukosti. Takve kompaktifikacije nude mnogo načina za izvlačenje realistične fizike iz teorije struna.^[83] Druge slične metode mogu se koristiti za konstruisanje realističnih ili polu-realističnih modela našeg četvorodimenzionalnog svijeta zasnovanih na M-teoriji.^[84]

Kosmologija

Teorija Velikog praska je preovlađujući kosmološki model za svemir od najranijih poznatih perioda kroz njegovu kasniju veliku evoluciju. Uprkos svom uspjehu u objašnjavanju mnogih opaženih karakteristika svemira, uključujući galaktičke crvene pomake, relativnu zastupljenost lakih elemenata poput vodika i helija, i postojanje kosmičkog mikrovalnog pozadinskog zračenja, ostaje nekoliko neodgovorenih pitanja. Na primjer, standardni model Velikog praska ne objašnjava zašto se svemir čini istim u svim pravcima, zašto se čini ravnim na vrlo velikim skalama udaljenosti, ili zašto se određene hipotetičke čestice poput magnetskih monopola ne opažaju u eksperimentima.^[85]

Trenutno, vodeći kandidat za teoriju koja prevazilazi Veliki prasak je teorija kosmičke inflacije. Razvijena od strane Alana Gutha i drugih 1980-ih, inflacija postulira period izuzetno brzog ubrzanog širenja svemira prije širenja opisanog standardnom teorijom Velikog praska. Teorija kosmičke inflacije čuva uspjehe Velikog praska dok pruža prirodno objašnjenje za neke od misterioznih karakteristika svemira.^[86] Teorija je također dobila upadljivu podršku iz opažanja kosmičkog mikrovalnog pozadinskog zračenja, zračenja koje ispunjava nebo od oko 380.000 godina nakon Velikog praska.^[87]

U teoriji inflacije, brzo početno širenje svemira uzrokovano je hipotetičkom česticom zvanom inflaton. Tačna svojstva ove čestice nisu fiksirana teorijom, ali bi se u konačnici trebala izvesti iz fundamentalnije teorije kao što je teorija struna.^[88] Zaista, bilo je više pokušaja da se identifikuje inflaton unutar spektra čestica opisanih teorijom struna i da se proučava inflacija koristeći teoriju struna. Iako bi ovi pristupi na kraju mogli dobiti podršku u opažajnim podacima kao što su mjerenja kosmičkog mikrovalnog pozadinskog zračenja, primjena teorije struna na kosmologiju je još uvijek u ranoj fazi.^[89]

Veze s matematikom

Pored uticaja na istraživanja u teorijskoj fizici, teorija struna je potaknula niz velikih razvoja u čistoj matematici. Poput mnogih ideja u teorijskoj fizici, teorija struna trenutno nema matematički rigoroznu formulaciju u kojoj bi se svi njeni koncepti mogli precizno definirati. Kao rezultat toga, fizičari koji proučavaju teoriju struna često su vođeni fizičkom intuicijom da postavljaju hipoteze o odnosima između naizgled različitih matematičkih struktura koje se koriste za formalizaciju različitih dijelova teorije. Ove hipoteze ponekad kasnije dokažu matematičari, i na taj način, teorija struna služi kao izvor novih ideja u čistoj matematici.^[90]

Zrcalna simetrija

Nakon što su Calabi–Yau mnogostrukosti ušle u fiziku kao način kompaktifikacije dodatnih dimenzija u teoriji struna, mnogi fizičari su počeli proučavati ove mnogostrukosti. Krajem 1980-ih, nekoliko fizičara je primijetilo da s obzirom na takvu kompaktifikaciju teorije struna, nije moguće jedinstveno rekonstruisati odgovarajuću Calabi–Yau mnogostrukost.^[91] Umjesto toga, dvije različite verzije teorije struna, tip IIA i tip IIB, mogu se kompaktificirati na potpuno različitim Calabi–Yau mnogostrukostima dajući istu fiziku. U ovoj situaciji, mnogostrukosti se nazivaju zrcalne mnogostrukosti, a odnos između dvije fizičke teorije naziva se zrcalna simetrija.^[28]

Bez obzira na to da li Calabi–Yau kompaktifikacije teorije struna pružaju ispravan opis prirode, postojanje zrcalne dualnosti između različitih teorija struna ima značajne matematičke posljedice. Calabi–Yau mnogostrukosti korištene u teoriji struna su od interesa u čistoj matematici, a zrcalna simetrija omogućava matematičarima da rješavaju probleme u enumerativnoj geometriji, grani matematike koja se bavi prebrojavanjem broja rješenja geometrijskih pitanja.^[28]^[92]

Enumerativna geometrija proučava klasu geometrijskih objekata zvanih algebarske mnogostrukosti koji su definirani iščezavanjem polinoma. Na primjer, Clebscheva kubika ilustrovana desno je algebarska mnogostrukost definirana korištenjem određenog polinoma stepena tri u četiri varijable. Čuveni rezultat matematičara devetnaestog stoljeća Arthura Cayleya i Georgea Salmone kaže da postoji tačno 27 pravih linija koje u potpunosti leže na takvoj površini.^[93]

Generalizirajući ovaj problem, može se postaviti pitanje koliko se linija može nacrtati na kvintičkoj Calabi–Yau mnogostrukosti, koja je definirana polinomom petog stepena. Ovaj problem je riješio njemački matematičar devetnaestog stoljeća Hermann Schubert, koji je otkrio da postoji tačno 2,875 takvih linija. Godine 1986, geometar Sheldon Katz je dokazao da je broj krivih, kao što su kružnice, koje su definirane polinomima stepena dva i leže u potpunosti u kvintici 609,250.^[94]

Do 1991. godine, većina klasičnih problema enumerativne geometrije bila je riješena i interes za enumerativnu geometriju je počeo opadati.^[95] Polje je oživljeno u maju 1991. kada su fizičari Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green i Linda Parkes pokazali da se zrcalna simetrija može koristiti za prevođenje teških matematičkih pitanja o jednoj Calabi–Yau mnogostrukosti u lakša pitanja o njenom zrcalu.^[96] Konkretno, koristili su zrcalnu simetriju da pokažu da šestodimenzionalna Calabi–Yau mnogostrukost može sadržavati tačno 317,206,375 krivih stepena tri.^[95] Pored prebrojavanja krivih stepena tri, Candelas i njegovi saradnici su dobili niz općenitijih rezultata za prebrojavanje racionalnih krivih koji su išli daleko izvan rezultata koje su dobili matematičari.^[97]

Prvobitno, ovi rezultati Candelasa bili su opravdani na fizičkim osnovama. Međutim, matematičari općenito preferiraju rigorozne dokaze koji ne zahtijevaju pozivanje na fizičku intuiciju. Inspirisani radom fizičara na zrcalnoj simetriji, matematičari su stoga konstruisali svoje vlastite argumente dokazujući enumerativna predviđanja zrcalne simetrije.^[d] Danas je zrcalna simetrija aktivno područje istraživanja u matematici, a matematičari rade na razvoju potpunijeg matematičkog razumijevanja zrcalne simetrije zasnovanog na intuiciji fizičara.^[103] Glavni pristupi zrcalnoj simetriji uključuju program homološke zrcalne simetrije Maxima Kontsevicha^[29] i SYZ hipotezu Andrewa Stromingera, Shing-Tung Yaua i Erica Zaslowa.^[104]

Monstruozni mjesečar (moonshine)

Teorija grupa je grana matematike koja proučava koncept simetrije. Na primjer, može se razmatrati geometrijski oblik kao što je jednakostranični trougao. Postoje različite operacije koje se mogu izvesti na ovom trouglu bez promjene njegovog oblika. Može se rotirati za 120°, 240° ili 360°, ili se može reflektovati u bilo kojoj od linija označenih $S 0$ , $S 1$ ili $S 2$ na slici. Svaka od ovih operacija naziva se simetrija, a kolekcija ovih simetrija zadovoljava određena tehnička svojstva čineći je onim što matematičari nazivaju grupom. U ovom konkretnom primjeru, grupa je poznata kao diedarska grupa reda 6 jer ima šest elemenata. Opća grupa može opisivati konačno mnogo ili beskonačno mnogo simetrija; ako postoji samo konačno mnogo simetrija, naziva se konačna grupa.^[105]

Matematičari često teže klasifikaciji (ili spisku) svih matematičkih objekata datog tipa. Općenito se vjeruje da su konačne grupe previše raznolike da bi dopuštale korisnu klasifikaciju. Skromniji, ali još uvijek izazovan problem je klasificirati sve konačne proste grupe. To su konačne grupe koje se mogu koristiti kao gradivni blokovi za konstruisanje proizvoljnih konačnih grupa na isti način na koji se prosti brojevi mogu koristiti za konstruisanje proizvoljnih cijelih brojeva uzimanjem proizvoda.^[e] Jedno od glavnih dostignuća savremene teorije grupa je klasifikacija konačnih prostih grupa, matematička teorema koja pruža spisak svih mogućih konačnih prostih grupa.^[105]

Ova teorema klasifikacije identificira nekoliko beskonačnih familija grupa kao i 26 dodatnih grupa koje se ne uklapaju ni u jednu familiju. Potonje grupe se nazivaju "sporadične" grupe, i svaka duguje svoje postojanje izvanrednoj kombinaciji okolnosti. Najveća sporadična grupa, takozvana monsterska grupa, ima preko $1053$ elemenata, više od hiljadu puta više od broja atoma u Zemlji.^[106]

Grafikon $j$ -funkcije u kompleksnoj ravni

Naizgled nepovezana konstrukcija je $j$ -funkcija iz teorije brojeva. Ovaj objekat pripada posebnoj klasi funkcija zvanih modularne funkcije, čiji grafovi formiraju određenu vrstu ponavljajućeg uzorka.^[107] Iako se ova funkcija pojavljuje u grani matematike koja se čini vrlo različitom od teorije konačnih grupa, dvije teme se ispostavljaju blisko povezanima. Krajem 1970-ih, matematičari John McKay i John Thompson primijetili su da su određeni brojevi koji nastaju u analizi monsterske grupe (naime, dimenzije njenih ireducibilnih reprezentacija) povezani s brojevima koji se pojavljuju u formuli za $j$ -funkciju (naime, koeficijentima njenog Fourierovog reda).^[108] Ovaj odnos su dalje razvili John Horton Conway i Simon Norton^[109] koji su ga nazvali monstruozni mjesečar jer je izgledao tako nevjerovatno.^[110]

Godine 1992, Richard Borcherds je konstruisao most između teorije modularnih funkcija i konačnih grupa i, u tom procesu, objasnio opažanja McKaya i Thompsona.^[111]^[112] Borcherdsov rad je koristio ideje iz teorije struna na suštinski način, proširujući ranije rezultate Igora Frenkela, Jamesa Lepowskyja i Arnea Meurmana, koji su realizirali monstersku grupu kao simetrije određene verzije teorije struna.^[113] Godine 1998, Borcherds je nagrađen Fieldsovom medaljom za svoj rad.^[114]

Od 1990-ih, veza između teorije struna i mjesečara dovela je do daljnjih rezultata u matematici i fizici.^[106] Godine 2010, fizičari Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri i Yuji Tachikawa otkrili su veze između druge sporadične grupe, Mathieuove grupe $M 24$ , i određene verzije teorije struna.^[115] Miranda Cheng, John Duncan i Jeffrey A. Harvey predložili su generalizaciju ovog fenomena mjesečara nazvanu umbralni mjesečar,^[116] a njihovu hipotezu su matematički dokazali Duncan, Michael Griffin i Ken Ono.^[117] Witten je također spekulisao da bi verzija teorije struna koja se pojavljuje u monstruoznom mjesečaru mogla biti povezana s određenim pojednostavljenim modelom gravitacije u tri dimenzije prostorvremena.^[118]

Historija

Rani rezultati

Neke od struktura koje je teorija struna ponovo uvela pojavile su se prvi put mnogo ranije kao dio programa klasičnog ujedinjenja koji je započeo Albert Einstein. Prva osoba koja je dodala petu dimenziju teoriji gravitacije bio je Gunnar Nordström 1914, koji je primijetio da gravitacija u pet dimenzija opisuje i gravitaciju i elektromagnetizam u četiri. Nordström je pokušao ujediniti elektromagnetizam sa svojom teorijom gravitacije, koja je međutim zamijenjena Einsteinovom općom relativnošću 1919. Nakon toga, njemački matematičar Theodor Kaluza je kombinovao petu dimenziju sa općom relativnošću, i obično se samo Kaluza smatra zaslužnim za tu ideju. Godine 1926, švedski fizičar Oskar Klein je dao fizičku interpretaciju nevidljive dodatne dimenzije—ona je omotana u mali krug. Einstein je uveo nesimetrični metrički tenzor, dok su mnogo kasnije Brans i Dicke dodali skalarnu komponentu gravitaciji. Ove ideje će biti oživljene unutar teorije struna, gdje su zahtijevane uslovima konzistentnosti.

Teorija struna prvobitno je razvijena tokom kasnih 1960-ih i ranih 1970-ih kao nikada potpuno uspješna teorija hadrona, subatomskih čestica poput protona i neutrona koje osjećaju jaku interakciju. Tokom 1960-ih, Geoffrey Chew i Steven Frautschi otkrili su da mesoni čine porodice zvane Reggeove trajektorije s masama povezanim sa spinovima na način za koji su kasnije Yoichiro Nambu, Holger Bech Nielsen i Leonard Susskind shvatili da je odnos očekivan od rotirajućih struna. Chew je zagovarao stvaranje teorije za interakcije ovih trajektorija koja ne pretpostavlja da su one sastavljene od bilo kakvih fundamentalnih čestica, već bi konstruisala njihove interakcije iz uslova samokonzistentnosti na S-matrici. Pristup S-matrice započeo je Werner Heisenberg 1940-ih kao način konstruisanja teorije koja se ne oslanja na lokalne pojmove prostora i vremena, za koje je Heisenberg vjerovao da se raspadaju na nuklearnoj skali. Iako je skala bila pogrešna za mnogo redova veličine, pristup koji je zagovarao bio je idealno prilagođen teoriji kvantne gravitacije.

Radeći s eksperimentalnim podacima, R. Dolen, D. Horn i C. Schmid razvili su neka sumarna pravila za razmjenu hadrona. Kada se čestica i antičestica raspršuju, virtualne čestice se mogu razmjenjivati na dva kvalitativno različita načina. U s-kanalu, dvije čestice anihiliraju stvarajući privremena međustanja koja se raspadaju u čestice konačnog stanja. U t-kanalu, čestice razmjenjuju međustanja emisijom i apsorpcijom. U teoriji polja, dva doprinosa se sabiraju, jedan daje kontinuirani pozadinski doprinos, drugi daje vrhove pri određenim energijama. U podacima je bilo jasno da vrhovi kradu od pozadine—autori su to interpretirali kao da je doprinos t-kanala dualan onom iz s-kanala, što znači da oba opisuju cijelu amplitudu i uključuju onaj drugi.

Rezultat je naširoko reklamirao Murray Gell-Mann, što je navelo Gabrielea Veneziana da konstruiše amplitudu raspršenja koja je imala svojstvo Dolen–Horn–Schmid dualnosti, kasnije preimenovane u dualnost svjetske plohe. Amplitudi su bili potrebni polovi tamo gdje se čestice pojavljuju, na pravolinijskim trajektorijama, a postoji posebna matematička funkcija čiji su polovi ravnomjerno raspoređeni na polovini realne ose—gama funkcija—koja se široko koristila u Reggeovoj teoriji. Manipulacijom kombinacijama gama funkcija, Veneziano je uspio pronaći konzistentnu amplitudu raspršenja s polovima na pravim linijama, s uglavnom pozitivnim reziduumima, koja je poštovala dualnost i imala odgovarajuće Reggeovo skaliranje pri visokoj energiji. Amplituda je mogla odgovarati podacima raspršenja blizu snopa kao i drugim Reggeovim prilagodbama i imala je sugestivnu integralnu reprezentaciju koja se mogla koristiti za generalizaciju.

Tokom sljedećih godina, stotine fizičara radilo je na dovršavanju bootstrap programa za ovaj model, s mnogo iznenađenja. Sam Veneziano je otkrio da da bi amplituda raspršenja opisala raspršenje čestice koja se pojavljuje u teoriji, očigledan uslov samokonzistentnosti, najlakša čestica mora biti tahion. Miguel Virasoro i Joel Shapiro pronašli su drugačiju amplitudu za koju se sada razumije da je amplituda zatvorenih struna, dok su Ziro Koba i Holger Nielsen generalizirali Venezianovu integralnu reprezentaciju na višečestično raspršenje. Veneziano i Sergio Fubini uveli su operatorski formalizam za računanje amplituda raspršenja koji je bio preteča konformne teorije svjetske plohe, dok je Virasoro shvatio kako ukloniti polove s reziduumima pogrešnog znaka koristeći ograničenje na stanja. Claud Lovelace je izračunao amplitudu petlje i primijetio da postoji nekonzistentnost osim ako dimenzija teorije nije 26. Charles Thorn, Peter Goddard i Richard Brower su dalje dokazali da nema propagirajućih stanja pogrešnog znaka u dimenzijama manjim ili jednakim 26.

Godine 1969–1970, Yoichiro Nambu, Holger Bech Nielsen i Leonard Susskind prepoznali su da se teoriji može dati opis u prostoru i vremenu u terminima struna. Amplitude raspršenja su sistematski izvedene iz principa akcije od strane Petera Goddarda, Jeffreya Goldstonea, Claudija Rebbija i Charlesa Thorna, dajući prostorvremensku sliku vertex operatorima koje su uveli Veneziano i Fubini i geometrijsku interpretaciju Virasorovih uslova.

Godine 1971, Pierre Ramond je dodao fermione u model, što ga je navelo da formuliše dvodimenzionalnu supersimetriju kako bi poništio stanja pogrešnog znaka. John Schwarz i André Neveu dodali su još jedan sektor fermionskoj teoriji kratko vrijeme kasnije. U fermionskim teorijama, kritična dimenzija bila je 10. Stanley Mandelstam je formulisao konformnu teoriju svjetske plohe i za bozonski i za fermionski slučaj, dajući dvodimenzionalni teorijski integral po putanjama za generisanje operatorskog formalizma. Michio Kaku i Keiji Kikkawa dali su drugačiju formulaciju bozonske strune, kao teoriju polja strune, s beskonačno mnogo tipova čestica i s poljima koja uzimaju vrijednosti ne na tačkama, već na petljama i krivama.

Godine 1974, Tamiaki Yoneya je otkrio da sve poznate teorije struna uključuju bezmasenu česticu spina dva koja je poštovala ispravne Wardove identitete da bi bila graviton. John Schwarz i Joël Scherk došli su do istog zaključka i napravili hrabar iskorak sugerišući da je teorija struna teorija gravitacije, a ne teorija hadrona. Ponovo su uveli Kaluza–Kleinovu teoriju kao način davanja smisla dodatnim dimenzijama. U isto vrijeme, kvantna hromodinamika je prepoznata kao ispravna teorija hadrona, preusmjeravajući pažnju fizičara i naizgled ostavljajući bootstrap program u kanti za smeće historije.

Teorija struna je na kraju izašla iz kante za smeće, ali tokom sljedeće decenije, sav rad na teoriji bio je potpuno ignorisan. Ipak, teorija je nastavila da se razvija stabilnim tempom zahvaljujući radu nekolicine posvećenika. Ferdinando Gliozzi, Joël Scherk i David Olive shvatili su 1977. da su originalne Ramondove i Neveu Schwarz-strune odvojeno nekonzistentne i da ih treba kombinovati. Rezultujuća teorija nije imala tahion i dokazano je da ima prostorvremensku supersimetriju od strane Johna Schwarza i Michaela Greena 1984. Iste godine, Alexander Polyakov je dao teoriji modernu formulaciju integrala po putanjama, i nastavio da opsežno razvija konformnu teoriju polja. Godine 1979, Daniel Friedan je pokazao da jednačine kretanja teorije struna, koje su generalizacije Einsteinovih jednačina opće relativnosti, proizlaze iz jednačina renormalizacione grupe za dvodimenzionalnu teoriju polja. Schwarz i Green su otkrili T-dualnost i konstruisali dvije teorije superstruna—IIA i IIB povezane T-dualnošću, i teorije tipa I s otvorenim strunama. Uslovi konzistentnosti bili su toliko snažni da je cijela teorija bila gotovo jedinstveno određena, sa samo nekoliko diskretnih izbora.

Prva revolucija superstruna

Početkom 1980-ih, Edward Witten je otkrio da većina teorija kvantne gravitacije ne može prihvatiti hiralne fermione poput neutrina. To ga je navelo, u saradnji sa Luisom Álvarez-Gauméom, da proučava kršenja zakona održanja u gravitacijskim teorijama sa anomalijama, zaključivši da su teorije struna tipa I nekonzistentne. Green i Schwarz su otkrili doprinos anomaliji koji su Witten i Álvarez-Gaumé propustili, koji je ograničio baždarnu grupu teorije struna tipa I na SO(32). Shvativši ovaj proračun, Edward Witten se uvjerio da je teorija struna zaista konzistentna teorija gravitacije, i postao je njen visokoprofilirani zagovornik. Slijedeći Wittenovo vođstvo, između 1984. i 1986, stotine fizičara počelo je raditi u ovom polju, i to se ponekad naziva prva revolucija superstruna.^[119]

Tokom ovog perioda, David Gross, Jeffrey Harvey, Emil Martinec i Ryan Rohm otkrili su heterotičke strune. Baždarna grupa ovih zatvorenih struna bile su dvije kopije E8, i bilo koja kopija je lako i prirodno mogla uključiti standardni model. Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger i Edward Witten otkrili su da su Calabi–Yau mnogostrukosti kompaktifikacije koje čuvaju realističnu količinu supersimetrije, dok su Lance Dixon i drugi razradili fizička svojstva orbifolda, karakterističnih geometrijskih singulariteta dopuštenih u teoriji struna. Cumrun Vafa je generalizirao T-dualnost sa kružnica na proizvoljne mnogostrukosti, stvarajući matematičko polje zrcalne simetrije. Daniel Friedan, Emil Martinec i Stephen Shenker dalje su razvili kovarijantnu kvantizaciju superstrune koristeći tehnike konformne teorije polja. David Gross i Vipul Periwal otkrili su da je teorija perturbacije struna divergentna. Stephen Shenker je pokazao da divergira mnogo brže nego u teoriji polja sugerišući da nedostaju novi neperturbativni objekti.

Tokom 1990-ih, Joseph Polchinski je otkrio da teorija zahtijeva višedimenzionalne objekte, zvane D-brane i identificirao ih s rješenjima crnih rupa supergravitacije. Oni su shvaćeni kao novi objekti sugerisani perturbativnim divergencijama i otvorili su novo polje s bogatom matematičkom strukturom. Ubrzo je postalo jasno da D-brane i druge p-brane, a ne samo strune, čine sadržaj materije teorija struna, i otkrivena je fizička interpretacija struna i brana—one su vrsta crne rupe. Leonard Susskind je inkorporirao holografski princip Gerardusa 't Hoofta u teoriju struna, identificirajući duga visoko pobuđena stanja struna s običnim termalnim stanjima crnih rupa. Kao što je sugerisao 't Hooft, fluktuacije horizonta crne rupe, teorija svjetske plohe ili svjetskog volumena, opisuje ne samo stepene slobode crne rupe, već i sve obližnje objekte.

Druga revolucija superstruna

Godine 1995, na godišnjoj konferenciji teoretičara struna na Univerzitetu Južne Kalifornije (USC), Edward Witten je održao govor o teoriji struna koji je u suštini ujedinio pet teorija struna koje su postojale u to vrijeme, i rodio novu 11-dimenzionalnu teoriju zvanu M-teorija. M-teoriju je također nagovijestio rad Paula Townshenda otprilike u isto vrijeme. Nalet aktivnosti koji je započeo u ovo vrijeme ponekad se naziva druga revolucija superstruna.^[31]^[120]

Tokom ovog perioda, Tom Banks, Willy Fischler, Stephen Shenker i Leonard Susskind formulisali su matričnu teoriju, potpuni holografski opis M-teorije koristeći IIA D0 brane.^[48] Ovo je bila prva definicija teorije struna koja je bila potpuno neperturbativna i konkretna matematička realizacija holografskog principa. To je primjer gauge-gravitacijske dualnosti i sada se razumije kao poseban slučaj AdS/CFT korespondencije. Andrew Strominger i Cumrun Vafa izračunali su entropiju određenih konfiguracija D-brana i pronašli slaganje s poluklasičnim odgovorom za ekstremne nabijene crne rupe.^[59] Petr Hořava i Witten pronašli su jedanaestodimenzionalnu formulaciju heterotičnih teorija struna, pokazujući da orbifoldi rješavaju problem hiralnosti. Witten je primijetio da je efektivni opis fizike D-brana pri niskim energijama dat supersimetričnom baždarnom teorijom, i pronašao geometrijske interpretacije matematičkih struktura u baždarnoj teoriji koje su on i Nathan Seiberg ranije otkrili u smislu lokacije brana.

Godine 1997, Juan Maldacena je primijetio da se niskoenergetske ekscitacije teorije u blizini crne rupe sastoje od objekata blizu horizonta, koji za ekstremne nabijene crne rupe izgleda kao anti-de Sitterov prostor.^[68] Primijetio je da u ovoj granici baždarna teorija opisuje ekscitacije struna u blizini brana. Stoga je pretpostavio da je teorija struna na geometriji ekstremne nabijene crne rupe blizu horizonta, anti-de Sitterov prostor puta sfera s fluksom, jednako dobro opisana niskoenergetskom graničnom baždarnom teorijom, N = 4 supersimetričnom Yang–Millsovom teorijom. Ova hipoteza, koja se naziva AdS/CFT korespondencija, dalje su razvili Steven Gubser, Igor Klebanov i Alexander Polyakov,^[69] i Edward Witten,^[70] i sada je široko prihvaćena. To je konkretna realizacija holografskog principa, koja ima dalekosežne implikacije za crne rupe, lokalnost i informaciju u fizici, kao i prirodu gravitacijske interakcije.^[53] Kroz ovu vezu, pokazano je da je teorija struna povezana s baždarnim teorijama poput kvantne hromodinamike i to je dovelo do kvantitativnijeg razumijevanja ponašanja hadrona, vraćajući teoriju struna njenim korijenima.

Kritika

Broj rješenja

Da bi konstruisali modele fizike čestica zasnovane na teoriji struna, fizičari obično počinju specificiranjem oblika za dodatne dimenzije prostorvremena. Svaki od ovih različitih oblika odgovara različitom mogućem svemiru, ili "vakuumskom stanju", s različitim skupom čestica i sila. Teorija struna kako je trenutno shvaćena ima ogroman broj vakuumskih stanja, obično procijenjen na oko $10500$ , i ona bi mogla biti dovoljno raznolika da prihvati gotovo bilo koji fenomen koji bi se mogao opaziti pri niskim energijama.^[121]

Mnogi kritičari teorije struna izrazili su zabrinutost zbog velikog broja mogućih svemira opisanih teorijom struna. U svojoj knjizi Not Even Wrong (Čak ni pogrešno), Peter Woit, predavač na matematičkom odsjeku na Univerzitetu Columbia, tvrdio je da veliki broj različitih fizičkih scenarija čini teoriju struna ispraznom kao okvir za konstruisanje modela fizike čestica. Prema Woitu,

Moguće postojanje, recimo, $10500$ konzistentnih različitih vakuumskih stanja za teoriju superstruna vjerovatno uništava nadu da se teorija može koristiti za bilo kakvo predviđanje. Ako se među ovim velikim skupom odaberu samo ona stanja čija se svojstva slažu sa sadašnjim eksperimentalnim opažanjima, vjerovatno će i dalje postojati tako veliki broj njih da se može dobiti gotovo bilo koja vrijednost za rezultate bilo kojeg novog opažanja.^[122]

Neki fizičari vjeruju da je ovaj veliki broj rješenja zapravo vrlina jer može omogućiti prirodno antropičko objašnjenje opaženih vrijednosti fizičkih konstanti, posebno male vrijednosti kosmološke konstante.^[122] Antropički princip je ideja da neki od brojeva koji se pojavljuju u zakonima fizike nisu fiksirani bilo kojim fundamentalnim principom, već moraju biti kompatibilni s evolucijom inteligentnog života. Godine 1987, Steven Weinberg je objavio članak u kojem je tvrdio da kosmološka konstanta nije mogla biti prevelika, inače se galaksije i inteligentni život ne bi mogli razviti.^[123] Weinberg je sugerisao da bi mogao postojati ogroman broj mogućih konzistentnih svemira, svaki sa različitom vrijednošću kosmološke konstante, a opažanja ukazuju na malu vrijednost kosmološke konstante samo zato što ljudi slučajno žive u svemiru koji je omogućio inteligentni život, a time i posmatrače, da postoje.^[124]

Teoretičar struna Leonard Susskind tvrdio je da teorija struna pruža prirodno antropičko objašnjenje male vrijednosti kosmološke konstante.^[125] Prema Susskindu, različita vakuumska stanja teorije struna mogu se realizovati kao različiti svemiri unutar većeg multiverzuma. Činjenica da opaženi svemir ima malu kosmološku konstantu samo je tautološka posljedica činjenice da je mala vrijednost potrebna za postojanje života.^[126] Mnogi istaknuti teoretičari i kritičari nisu se složili sa Susskindovim zaključcima.^[127] Prema Woitu, "u ovom slučaju [antropičko rezonovanje] nije ništa drugo nego izgovor za neuspjeh. Spekulativne naučne ideje ne uspijevaju samo kada daju netačna predviđanja, već i kada se ispostavi da su isprazne i nesposobne bilo šta predvidjeti."^[128]

Kompatibilnost s tamnom energijom

Ostaje nepoznato da li je teorija struna kompatibilna s metastabilnom, pozitivnom kosmološkom konstantom. Neki navodni primjeri takvih rješenja postoje, kao što je model koji su opisali Kachru et al. 2003. godine.^[129] Godine 2018, grupa od četiri fizičara iznijela je kontroverznu hipotezu koja bi implicirala da takav svemir ne postoji. Ovo je suprotno nekim popularnim modelima tamne energije kao što je Λ-CDM, koji zahtijeva pozitivnu energiju vakuuma. Međutim, teorija struna je vjerovatno kompatibilna s određenim tipovima kvintesencije, gdje je tamna energija uzrokovana novim poljem s egzotičnim svojstvima.^[130]

Neovisnost o pozadini

Jedno od fundamentalnih svojstava Einsteinove opće teorije relativnosti je da je ona pozadinski neovisna, što znači da formulacija teorije ni na koji način ne privileguje određenu geometriju prostorvremena.^[131]

Jedna od glavnih kritika teorije struna od početka je da ona nije manifestno pozadinski neovisna. U teoriji struna, obično se mora specificirati fiksna referentna geometrija za prostorvrijeme, a sve druge moguće geometrije se opisuju kao perturbacije ove fiksne. U svojoj knjizi The Trouble With Physics (Problem s fizikom), fizičar Lee Smolin sa Perimeter Institute for Theoretical Physics tvrdi da je to glavna slabost teorije struna kao teorije kvantne gravitacije, rekavši da teorija struna nije uspjela inkorporirati ovaj važan uvid iz opće relativnosti.^[132]

Drugi se nisu složili sa Smolinovom karakterizacijom teorije struna. U recenziji Smolinove knjige, teoretičar struna Joseph Polchinski piše

[Smolin] brka aspekt matematičkog jezika koji se koristi s jednim od aspekata fizike koji se opisuje. Nove fizičke teorije se često otkrivaju koristeći matematički jezik koji nije najprikladniji za njih... U teoriji struna, oduvijek je bilo jasno da je fizika pozadinski neovisna, čak i ako jezik koji se koristi to nije, i potraga za prikladnijim jezikom se nastavlja. Zaista, kako Smolin sa zakašnjenjem primjećuje, [AdS/CFT] pruža rješenje ovog problema, ono koje je neočekivano i moćno.^[133]

Polchinski primjećuje da je važan otvoreni problem u kvantnoj gravitaciji razviti holografske opise gravitacije koji ne zahtijevaju da gravitacijsko polje bude asimptotski anti-de Sitter.^[133] Smolin je odgovorio rekavši da AdS/CFT korespondencija, kako je trenutno shvaćena, možda nije dovoljno jaka da riješi sve zabrinutosti o pozadinskoj neovisnosti.^[134]

Sociologija nauke

Od revolucija superstruna 1980-ih i 1990-ih, teorija struna je bila jedna od dominantnih paradigmi u teorijskoj fizici visokih energija.^[135] Neki teoretičari struna izrazili su stav da ne postoji jednako uspješna alternativna teorija koja se bavi dubokim pitanjima fundamentalne fizike. U intervjuu iz 1987, Nobelov laureat David Gross dao je sljedeće kontroverzne komentare o razlozima popularnosti teorije struna:

Najvažniji [razlog] je taj što nema drugih dobrih ideja u opticaju. To je ono što većinu ljudi uvlači u nju. Kada su se ljudi počeli zanimati za teoriju struna, nisu znali ništa o njoj. Zapravo, prva reakcija većine ljudi je da je teorija izuzetno ružna i neugodna, barem je tako bilo prije nekoliko godina kada je razumijevanje teorije struna bilo mnogo manje razvijeno. Ljudima je bilo teško učiti o njoj i zainteresovati se. Tako da mislim da je pravi razlog zašto su je ljudi privukli taj što nema druge igre u gradu. Svi drugi pristupi konstruisanja velikih ujedinjenih teorija, koji su u početku bili konzervativniji, a tek postepeno postajali sve radikalniji, propali su, a ova igra još nije propala.^[136]

Nekoliko drugih visokoprofiliranih teoretičara i komentatora izrazilo je slične stavove, sugerišući da ne postoje održive alternative teoriji struna.^[137]

Mnogi kritičari teorije struna komentarisali su ovo stanje stvari. U svojoj knjizi koja kritikuje teoriju struna, Peter Woit smatra status istraživanja teorije struna nezdravim i štetnim za budućnost fundamentalne fizike. On tvrdi da je ekstremna popularnost teorije struna među teorijskim fizičarima dijelom posljedica finansijske strukture akademske zajednice i žestoke konkurencije za oskudne resurse.^[138] U svojoj knjizi iz 2004. The Road to Reality (Put u stvarnost), matematički fizičar Roger Penrose izražava slične stavove, navodeći "Često mahnita kompetitivnost koju ova lakoća komunikacije rađa dovodi do efekata bandvagona, gdje se istraživači plaše da će biti izostavljeni ako se ne pridruže."^[139] Penrose također tvrdi da tehnička težina savremene fizike prisiljava mlade naučnike da se oslanjaju na preferencije etabliranih istraživača, umjesto da krče nove puteve za sebe.^[140] Lee Smolin izražava nešto drugačiji stav u svojoj kritici, tvrdeći da je teorija struna izrasla iz tradicije fizike čestica koja obeshrabruje spekulacije o osnovama fizike, dok njegov preferirani pristup, kvantna gravitacija petlji, ohrabruje radikalnije razmišljanje. Prema Smolinu,

Teorija struna je moćna, dobro motivisana ideja i zaslužuje veliki dio rada koji joj je posvećen. Ako je do sada podbacila, glavni razlog je taj što su njene unutrašnje mane usko povezane s njenim vrlinama—i, naravno, priča je nedovršena, jer bi se teorija struna mogla ispostaviti kao dio istine. Pravo pitanje nije zašto smo uložili toliko energije u teoriju struna, već zašto nismo uložili ni približno dovoljno u alternativne pristupe.^[141]

Smolin zatim nudi niz recepata kako bi naučnici mogli podstaći veću raznolikost pristupa istraživanju kvantne gravitacije.^[142]

Također pogledajte

Note

↑ Na primjer, u kontekstu AdS/CFT korespondencije, teoretičari često formulišu i proučavaju teorije gravitacije u nefizikalnim brojevima dimenzija prostorvremena.
↑ "Najcitiraniji članci tokom 2010. u hep-th". Pristupljeno 25. 7. 2013.
↑ Preciznije, ne mogu se primijeniti metode perturbativne kvantne teorije polja.
↑ Dva nezavisna matematička dokaza zrcalne simetrije dali su Givental^[98]^[99] i Lian et al.^[100]^[101]^[102]
↑ Preciznije, netrivijalna grupa se naziva prostom ako su njene jedine normalne podgrupe trivijalna grupa i sama grupa. Jordan–Hölderova teorema prikazuje konačne proste grupe kao gradivne blokove za sve konačne grupe.

Reference

1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 1
↑ Zwiebach, str. 6
1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 2–3
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 9–12
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 14–15
1 2 3 Klebanov, Igor; Maldacena, Juan (2009). "Solving Quantum Field Theories via Curved Spacetimes". Physics Today. 62 (1): 28–33 [28]. Bibcode:2009PhT....62a..28K. doi:10.1063/1.3074260.
1 2 3 4 Merali, Zeeya (2011). "Collaborative physics: string theory finds a bench mate". Nature. 478 (7369): 302–304 [303]. Bibcode:2011Natur.478..302M. doi:10.1038/478302a. PMID 22012369.
1 2 Sachdev, Subir (2013). "Strange and stringy". Scientific American. 308 (44): 44–51 [51]. Bibcode:2012SciAm.308a..44S. doi:10.1038/scientificamerican0113-44. PMID 23342451.
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 3, 15–16
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 8
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 13–14
1 2 Woit
1 2 3 Zee, Anthony (2010). "Parts V and VI". Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd izd.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6.
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 2
1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 6
↑ Zwiebach, str. 12
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 4
↑ Zwiebach, str. 324
↑ Wald, str. 4
↑ Zwiebach, str. 9
↑ Zwiebach, str. 8
1 2 Yau i Nadis, pogl. 6
↑ Yau i Nadis, str. ix
↑ Randall, Lisa; Sundrum, Raman (1999). "An alternative to compactification". Physical Review Letters. 83 (23): 4690–4693. arXiv:hep-th/9906064. Bibcode:1999PhRvL..83.4690R. doi:10.1103/PhysRevLett.83.4690. S2CID 18530420.
1 2 Becker, Becker i Schwarz
↑ Zwiebach, str. 376
1 2 3 Moore, Gregory (2005). "What is ... a Brane?" (PDF). Notices of the AMS. 52: 214–215. Pristupljeno 29. 12. 2016.
1 2 3 Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., ured. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. Clay Mathematics Monographs. 4. American Mathematical Society. str. 13. ISBN 978-0-8218-3848-8.
1 2 Kontsevich, Maxim (1995). "Homological Algebra of Mirror Symmetry". Proceedings of the International Congress of Mathematicians. str. 120–139. arXiv:alg-geom/9411018. Bibcode:1994alg.geom.11018K. doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_11. ISBN 978-3-0348-9897-3. S2CID 16733945.
↑ Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program". Communications in Number Theory and Physics. 1 (1): 1–236. arXiv:hep-th/0604151. Bibcode:2007CNTP....1....1K. doi:10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID 30505126.
1 2 Duff
↑ Duff, str. 64
↑ Nahm, Walter (1978). "Supersymmetries and their representations" (PDF). Nuclear Physics B. 135 (1): 149–166. Bibcode:1978NuPhB.135..149N. doi:10.1016/0550-3213(78)90218-3. Arhivirano (PDF) s originala, 26. 7. 2018. Pristupljeno 25. 8. 2019.
↑ Cremmer, Eugene; Julia, Bernard; Scherk, Joël (1978). "Supergravity theory in eleven dimensions". Physics Letters B. 76 (4): 409–412. Bibcode:1978PhLB...76..409C. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8.
1 2 3 4 5 Duff, str. 65
↑ Sen, Ashoke (1994). "Strong-weak coupling duality in four-dimensional string theory". International Journal of Modern Physics A. 9 (21): 3707–3750. arXiv:hep-th/9402002. Bibcode:1994IJMPA...9.3707S. doi:10.1142/S0217751X94001497. S2CID 16706816.
↑ Sen, Ashoke (1994). "Dyon-monopole bound states, self-dual harmonic forms on the multi-monopole moduli space, and $SL (2, Z)$ invariance in string theory". Physics Letters B. 329 (2): 217–221. arXiv:hep-th/9402032. Bibcode:1994PhLB..329..217S. doi:10.1016/0370-2693(94)90763-3. S2CID 17534677.
↑ Hull, Chris; Townsend, Paul (1995). "Unity of superstring dualities". Nuclear Physics B. 4381 (1): 109–137. arXiv:hep-th/9410167. Bibcode:1995NuPhB.438..109H. doi:10.1016/0550-3213(94)00559-W. S2CID 13889163.
↑ Duff, str. 67
↑ Bergshoeff, Eric; Sezgin, Ergin; Townsend, Paul (1987). "Supermembranes and eleven-dimensional supergravity" (PDF). Physics Letters B. 189 (1): 75–78. Bibcode:1987PhLB..189...75B. doi:10.1016/0370-2693(87)91272-X. S2CID 123289423. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 8. 2019.
↑ Duff, Michael; Howe, Paul; Inami, Takeo; Stelle, Kellogg (1987). "Superstrings in $D =10$ from supermembranes in $D =11$ " (PDF). Nuclear Physics B. 191 (1): 70–74. Bibcode:1987PhLB..191...70D. doi:10.1016/0370-2693(87)91323-2. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 8. 2019.
↑ Duff, str. 66
↑ Witten, Edward (1995). "String theory dynamics in various dimensions". Nuclear Physics B. 443 (1): 85–126. arXiv:hep-th/9503124. Bibcode:1995NuPhB.443...85W. doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O. S2CID 16790997.
↑ Duff, str. 67–68
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 296
↑ Hořava, Petr; Witten, Edward (1996). "Heterotic and Type I string dynamics from eleven dimensions". Nuclear Physics B. 460 (3): 506–524. arXiv:hep-th/9510209. Bibcode:1996NuPhB.460..506H. doi:10.1016/0550-3213(95)00621-4. S2CID 17028835.
↑ Duff, Michael (1996). "M-theory (the theory formerly known as strings)". International Journal of Modern Physics A. 11 (32): 6523–41 (Sec. 1). arXiv:hep-th/9608117. Bibcode:1996IJMPA..11.5623D. doi:10.1142/S0217751X96002583. S2CID 17432791.
1 2 3 Banks, Tom; Fischler, Willy; Schenker, Stephen; Susskind, Leonard (1997). "M theory as a matrix model: A conjecture". Physical Review D. 55 (8): 5112–5128. arXiv:hep-th/9610043. Bibcode:1997PhRvD..55.5112B. doi:10.1103/physrevd.55.5112. S2CID 13073785.
↑ Connes, Alain (1994). Noncommutative Geometry. Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.
↑ Connes, Alain; Douglas, Michael; Schwarz, Albert (1998). "Noncommutative geometry and matrix theory". Journal of High Energy Physics. 19981 (2): 003. arXiv:hep-th/9711162. Bibcode:1998JHEP...02..003C. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003. S2CID 7562354.
↑ Nekrasov, Nikita; Schwarz, Albert (1998). "Instantons on noncommutative $R 4$ and (2,0) superconformal six dimensional theory". Communications in Mathematical Physics. 198 (3): 689–703. arXiv:hep-th/9802068. Bibcode:1998CMaPh.198..689N. doi:10.1007/s002200050490. S2CID 14125789.
↑ Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1999). "String Theory and Noncommutative Geometry". Journal of High Energy Physics. 1999 (9): 032. arXiv:hep-th/9908142. Bibcode:1999JHEP...09..032S. doi:10.1088/1126-6708/1999/09/032. S2CID 668885.
1 2 3 de Haro, Sebastian; Dieks, Dennis; 't Hooft, Gerard; Verlinde, Erik (2013). "Forty Years of String Theory Reflecting on the Foundations". Foundations of Physics. 43 (1): 1–7 [2]. Bibcode:2013FoPh...43....1D. doi:10.1007/s10701-012-9691-3.
↑ Yau i Nadis, str. 187–188
↑ Bekenstein, Jacob (1973). "Black holes and entropy". Physical Review D. 7 (8): 2333–2346. Bibcode:1973PhRvD...7.2333B. doi:10.1103/PhysRevD.7.2333. S2CID 122636624.
1 2 Hawking, Stephen (1975). "Particle creation by black holes". Communications in Mathematical Physics. 43 (3): 199–220. Bibcode:1975CMaPh..43..199H. doi:10.1007/BF02345020. S2CID 55539246.
↑ Wald, str. 417
↑ Yau i Nadis, str. 189
1 2 Strominger, Andrew; Vafa, Cumrun (1996). "Microscopic origin of the Bekenstein–Hawking entropy". Physics Letters B. 379 (1): 99–104. arXiv:hep-th/9601029. Bibcode:1996PhLB..379...99S. doi:10.1016/0370-2693(96)00345-0. S2CID 1041890.
↑ Yau i Nadis, str. 190–192
↑ Maldacena, Juan; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1997). "Black hole entropy in M-theory". Journal of High Energy Physics. 1997 (12): 002. arXiv:hep-th/9711053. Bibcode:1997JHEP...12..002M. doi:10.1088/1126-6708/1997/12/002. S2CID 14980680.
↑ Ooguri, Hirosi; Strominger, Andrew; Vafa, Cumrun (2004). "Black hole attractors and the topological string". Physical Review D. 70 (10). arXiv:hep-th/0405146. Bibcode:2004PhRvD..70j6007O. doi:10.1103/physrevd.70.106007. S2CID 6289773.
↑ Yau i Nadis, str. 192–193
↑ Yau i Nadis, str. 194–195
↑ Strominger, Andrew (1998). "Black hole entropy from near-horizon microstates". Journal of High Energy Physics. 1998 (2): 009. arXiv:hep-th/9712251. Bibcode:1998JHEP...02..009S. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/009. S2CID 2044281.
↑ Guica, Monica; Hartman, Thomas; Song, Wei; Strominger, Andrew (2009). "The Kerr/CFT Correspondence". Physical Review D. 80 (12). arXiv:0809.4266. Bibcode:2009PhRvD..80l4008G. doi:10.1103/PhysRevD.80.124008. S2CID 15010088.
↑ Castro, Alejandra; Maloney, Alexander; Strominger, Andrew (2010). "Hidden conformal symmetry of the Kerr black hole". Physical Review D. 82 (2). arXiv:1004.0996. Bibcode:2010PhRvD..82b4008C. doi:10.1103/PhysRevD.82.024008. S2CID 118600898.
1 2 Maldacena, Juan (1998). "The Large $N$ limit of superconformal field theories and supergravity". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2 (2): 231–252. arXiv:hep-th/9711200. Bibcode:1998AdTMP...2..231M. doi:10.4310/ATMP.1998.V2.N2.A1.
1 2 Gubser, Steven; Klebanov, Igor; Polyakov, Alexander (1998). "Gauge theory correlators from non-critical string theory". Physics Letters B. 428 (1–2): 105–114. arXiv:hep-th/9802109. Bibcode:1998PhLB..428..105G. doi:10.1016/S0370-2693(98)00377-3. S2CID 15693064.
1 2 Witten, Edward (1998). "Anti-de Sitter space and holography". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2 (2): 253–291. arXiv:hep-th/9802150. Bibcode:1998AdTMP...2..253W. doi:10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2. S2CID 10882387.
1 2 3 Maldacena 2005, str. 60
1 2 Maldacena 2005, str. 61
↑ Zwiebach, str. 552
↑ Maldacena 2005, str. 61–62
↑ Susskind, Leonard (2008). The Black Hole War: My Battle with Stephen Hawking to Make the World Safe for Quantum Mechanics. Little, Brown and Company. ISBN 978-0-316-01641-4.
↑ Zwiebach, str. 554
↑ Maldacena 2005, str. 63
↑ Hawking, Stephen (2005). "Information loss in black holes". Physical Review D. 72 (8). arXiv:hep-th/0507171. Bibcode:2005PhRvD..72h4013H. doi:10.1103/PhysRevD.72.084013. S2CID 118893360.
↑ Zwiebach, str. 559
↑ Kovtun, P. K.; Son, Dam T.; Starinets, A. O. (2005). "Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics". Physical Review Letters. 94 (11). arXiv:hep-th/0405231. Bibcode:2005PhRvL..94k1601K. doi:10.1103/PhysRevLett.94.111601. PMID 15903845. S2CID 119476733.
↑ Luzum, Matthew; Romatschke, Paul (2008). "Conformal relativistic viscous hydrodynamics: Applications to RHIC results at $\sqrt s NN =200$ GeV". Physical Review C. 78 (3). arXiv:0804.4015. Bibcode:2008PhRvC..78c4915L. doi:10.1103/PhysRevC.78.034915.
↑ Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985). "Vacuum configurations for superstrings". Nuclear Physics B. 258: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
↑ Cvetic, M; Halverson, J.; Shiu, G.; Taylor, W. (2022). "Snowmass White Paper: String Theory and Particle Physics". arXiv:2204.01742 [hep-th].
↑ Yau i Nadis, str. 147–150
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 530–531
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 531
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 538
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 533
↑ Becker, Becker i Schwarz, str. 539–543
↑ Deligne, Pierre; Etingof, Pavel; Freed, Daniel; Jeffery, Lisa; Kazhdan, David; Morgan, John; Morrison, David; Witten, Edward, ured. (1999). Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. 1. American Mathematical Society. str. 1. ISBN 978-0-8218-2012-4.
↑ Hori, str. xvii
↑ Hori
↑ Yau i Nadis, str. 167
↑ Yau i Nadis, str. 166
1 2 Yau i Nadis, str. 169
↑ Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parkes, Linda (1991). "A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory". Nuclear Physics B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
↑ Yau i Nadis, str. 171
↑ Givental, Alexander (1996). "Equivariant Gromov-Witten invariants". International Mathematics Research Notices. 1996 (13): 613–663. doi:10.1155/S1073792896000414. S2CID 554844.
↑ Givental, Alexander (1998). "A mirror theorem for toric complete intersections". Topological Field Theory, Primitive Forms and Related Topics. str. 141–175. arXiv:alg-geom/9701016v2. doi:10.1007/978-1-4612-0705-4_5. ISBN 978-1-4612-6874-1. S2CID 2884104.
↑ Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1997). "Mirror principle, I". Asian Journal of Mathematics. 1 (4): 729–763. arXiv:alg-geom/9712011. Bibcode:1997alg.geom.12011L. doi:10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5. S2CID 8035522.
↑ Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999a). "Mirror principle, II". Asian Journal of Mathematics. 3: 109–146. arXiv:math/9905006. Bibcode:1999math......5006L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6. S2CID 17837291.
Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999b). "Mirror principle, III". Asian Journal of Mathematics. 3 (4): 771–800. arXiv:math/9912038. Bibcode:1999math.....12038L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4.
↑ Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (2000). "Mirror principle, IV". Surveys in Differential Geometry. 7: 475–496. arXiv:math/0007104. Bibcode:2000math......7104L. doi:10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15. S2CID 1099024.
↑ Hori, str. xix
↑ Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "Mirror symmetry is T-duality". Nuclear Physics B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. S2CID 14586676.
1 2 Dummit, David; Foote, Richard (2004). Abstract Algebra. Wiley. str. 102–103. ISBN 978-0-471-43334-7.
1 2 Klarreich, Erica (12. 3. 2015). "Matematičari jure sjenku mjesečara". Quanta Magazine. Arhivirano s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 31. 5. 2015.
↑ Gannon, str. 2
↑ Gannon, str. 4
↑ Conway, John; Norton, Simon (1979). "Monstrous moonshine". Bull. London Math. Soc. 11 (3): 308–339. doi:10.1112/blms/11.3.308.
↑ Gannon, str. 5
↑ Gannon, str. 8
↑ Borcherds, Richard (1992). "Monstrous moonshine and Lie superalgebras" (PDF). Inventiones Mathematicae. 109 (1): 405–444. Bibcode:1992InMat.109..405B. CiteSeerX 10.1.1.165.2714. doi:10.1007/BF01232032. S2CID 16145482. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 10. 2017.
↑ Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988). Vertex Operator Algebras and the Monster. Pure and Applied Mathematics. 134. Academic Press. ISBN 978-0-12-267065-7.
↑ Gannon, str. 11
↑ Eguchi, Tohru; Ooguri, Hirosi; Tachikawa, Yuji (2011). "Notes on the K3 surface and the Mathieu group $M 24$ ". Experimental Mathematics. 20 (1): 91–96. arXiv:1004.0956. doi:10.1080/10586458.2011.544585. S2CID 26960343.
↑ Cheng, Miranda; Duncan, John; Harvey, Jeffrey (2014). "Umbral Moonshine". Communications in Number Theory and Physics. 8 (2): 101–242. arXiv:1204.2779. Bibcode:2012arXiv1204.2779C. doi:10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a1. S2CID 119684549.
↑ Duncan, John; Griffin, Michael; Ono, Ken (2015). "Proof of the Umbral Moonshine Conjecture". Research in the Mathematical Sciences. 2. arXiv:1503.01472. Bibcode:2015arXiv150301472D. doi:10.1186/s40687-015-0044-7. S2CID 43589605.
↑ Witten, Edward (2007). "Three-dimensional gravity revisited". arXiv:0706.3359 [hep-th].
↑ Rickles 2014, str. 147.
↑ Rickles 2014, str. 208.
↑ Woit, str. 240–242
1 2 Woit, str. 242
↑ Weinberg, Steven (1987). "Anthropic bound on the cosmological constant". Physical Review Letters. 59 (22): 2607–2610. Bibcode:1987PhRvL..59.2607W. doi:10.1103/PhysRevLett.59.2607. PMID 10035596.
↑ Woit, str. 243
↑ Susskind, Leonard (2005). The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design. Back Bay Books. ISBN 978-0-316-01333-8.
↑ Woit, str. 242–243
↑ Woit, str. 240
↑ Woit, str. 249
↑ Kachru, Shamit; Kallosh, Renata; Linde, Andrei; Trivedi, Sandip P. (2003). "de Sitter Vacua in String Theory". Phys. Rev. D. 68 (4). arXiv:hep-th/0301240. Bibcode:2003PhRvD..68d6005K. doi:10.1103/PhysRevD.68.046005. ISSN 0556-2821. S2CID 119482182.
↑ Wolchover, Natalie (9. 8. 2018). "Tamna energija možda nije kompatibilna s teorijom struna". Quanta Magazine. Simons Foundation. Arhivirano s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 2. 4. 2020.
↑ Smolin, str. 81
↑ Smolin, str. 184
1 2 Polchinski, Joseph (2007). "All Strung Out?". American Scientist. 95: 72. doi:10.1511/2007.63.72. Arhivirano s originala, 7. 4. 2017. Pristupljeno 29. 12. 2016.
↑ Smolin, Lee (april 2007). "Odgovor na recenziju knjige The Trouble with Physics od Joea Polchinskog". kitp.ucsb.edu. Arhivirano s originala, 5. 11. 2015. Pristupljeno 31. 12. 2015.
↑ Penrose, str. 1017
↑ Woit, str. 224–225
↑ Woit, pogl. 16
↑ Woit, str. 239
↑ Penrose, str. 1018
↑ Penrose, str. 1019–1020
↑ Smolin, str. 349
↑ Smolin, pogl. 20

Bibliografija

Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John (2007). String theory and M-theory: A modern introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86069-7.
Duff, Michael (1998). "The theory formerly known as strings". Scientific American. 278 (2): 64–9. Bibcode:1998SciAm.278b..64D. doi:10.1038/scientificamerican0298-64.
Gannon, Terry (2023). Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms, and Physics. Cambridge University Press. Bibcode:2023mbmb.book.....G.
Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, ured. (2003). Mirror Symmetry (PDF). Clay Mathematics Monographs. 1. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2955-4. Arhivirano s originala (PDF), 19. 9. 2006.
Maldacena, Juan (2005). "The Illusion of Gravity" (PDF). Scientific American. 293 (5): 56–63. Bibcode:2005SciAm.293e..56M. doi:10.1038/scientificamerican1105-56. PMID 16318027. Arhivirano s originala (PDF), 1. 11. 2014. Pristupljeno 29. 12. 2016.
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
Smolin, Lee (2006). The Trouble with Physics: The Rise of String Theory, the Fall of a Science, and What Comes Next. New York: Houghton Mifflin Co. ISBN 978-0-618-55105-7.
Wald, Robert (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
Woit, Peter (2006). Not Even Wrong: The Failure of String Theory and the Search for Unity in Physical Law. Basic Books. str. 105. ISBN 978-0-465-09275-8.
Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.

Dodatna literatura

Popularna nauka

Greene, Brian (2003). The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. New York: W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-05858-1.
Greene, Brian (2004). The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality. New York: Alfred A. Knopf. Bibcode:2004fcst.book.....G. ISBN 978-0-375-41288-2.
Gubser, Steven Scott (2010). The Little Book of String Theory. Princeton, N. J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14289-0.
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
Smolin, Lee (2006). The Trouble with Physics: The Rise of String Theory, the Fall of a Science, and What Comes Next. New York: Houghton Mifflin Co. ISBN 978-0-618-55105-7.
Woit, Peter (4. 9. 2006). Not Even Wrong: The Failure of String Theory And the Search for Unity in Physical Law. New York: Basic Books. ISBN 978-0-465-09275-8. OCLC 67840232. - UK izdanje objavljeno kod Jonathan Cape, London, 2006

Udžbenici

Becker, K.; Becker, M.; Schwarz, J. H. (2006). String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86069-7.
Blumenhagen, R.; Lüst, D.; Theisen, S. (2012). Basic Concepts of String Theory. Springer. ISBN 978-3-642-29496-9.
Green, Michael; Schwarz, John; Witten, Edward (2012). Superstring Theory. 1: Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02911-8.
Green, Michael; Schwarz, John; Witten, Edward (2012). Superstring Theory. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02913-2.
Ibáñez, L.E.; Uranga, A.M. (2012). String Theory and Particle Physics: An Introduction to String Phenomenology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51752-2.
Kiritsis, E. (2019). String Theory in a Nutshell. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15579-1.
Ortín, T. (2015). Gravity and Strings. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76813-9.
Rickles, Dean (2014). A Brief History of String Theory: From Dual Models to M-Theory. Springer. ISBN 978-3-642-45128-7.
Polchinski, Joseph (1998). String Theory. 1: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63303-1.
Polchinski, Joseph (1998). String Theory. 2: Superstring Theory and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63304-8.
West, P. (2012). Introduction to Strings and Branes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81747-9.
Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.

Vanjski linkovi

BBC-evi Paralelni svemiri, dugometražni dokumentarac iz 2002. godine u produkciji BBC Horizon, epizoda "Paralelni svemiri", fokusira se na historiju i nastanak M-teorije i uključene naučnike.
Elegantni svemir Nova-e, 2003. godine, tročasovna miniserija nagrađena Emmyjem u produkciji Nova sa Brianom Greeneom, adaptirana prema njegovoj knjizi Elegantni svemir (originalni datumi emitovanja na PBS-u: 28. oktobar, 8–10 sati i 4. novembar, 8–9 sati, 2003).

[20] Na primjer, u kontekstu AdS/CFT korespondencije, teoretičari često formulišu i proučavaju teorije gravitacije u nefizikalnim brojevima dimenzija prostorvremena.

[72] "Najcitiraniji članci tokom 2010. u hep-th". Pristupljeno 25. 7. 2013.

[82] Preciznije, ne mogu se primijeniti metode perturbativne kvantne teorije polja.

[106] Dva nezavisna matematička dokaza zrcalne simetrije dali su Givental^[98]^[99] i Lian et al.^[100]^[101]^[102]

[110] Preciznije, netrivijalna grupa se naziva prostom ako su njene jedine normalne podgrupe trivijalna grupa i sama grupa. Jordan–Hölderova teorema prikazuje konačne proste grupe kao gradivne blokove za sve konačne grupe.

[Becker,_Becker_2007,_p._1-1] 1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 1

[2] Zwiebach, str. 6

[Becker,_Becker_2007,_pp._2-3] 1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 2–3

[4] Becker, Becker i Schwarz, str. 9–12

[5] Becker, Becker i Schwarz, str. 14–15

[Klebanov_and_Maldacena_2009-6] 1 2 3 Klebanov, Igor; Maldacena, Juan (2009). "Solving Quantum Field Theories via Curved Spacetimes". Physics Today. 62 (1): 28–33 [28]. Bibcode:2009PhT....62a..28K. doi:10.1063/1.3074260.

[Merali_2011-7] 1 2 3 4 Merali, Zeeya (2011). "Collaborative physics: string theory finds a bench mate". Nature. 478 (7369): 302–304 [303]. Bibcode:2011Natur.478..302M. doi:10.1038/478302a. PMID 22012369.

[Sachdev-8] 1 2 Sachdev, Subir (2013). "Strange and stringy". Scientific American. 308 (44): 44–51 [51]. Bibcode:2012SciAm.308a..44S. doi:10.1038/scientificamerican0113-44. PMID 23342451.

[9] Becker, Becker i Schwarz, str. 3, 15–16

[10] Becker, Becker i Schwarz, str. 8

[11] Becker, Becker i Schwarz, str. 13–14

[Woit_2006-12] 1 2 Woit

[Zee_2010-13] 1 2 3 Zee, Anthony (2010). "Parts V and VI". Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd izd.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6.

[14] Becker, Becker i Schwarz, str. 2

[Becker,_Becker_2007,_p._6-15] 1 2 Becker, Becker i Schwarz, str. 6

[16] Zwiebach, str. 12

[17] Becker, Becker i Schwarz, str. 4

[18] Zwiebach, str. 324

[19] Wald, str. 4

[21] Zwiebach, str. 9

[22] Zwiebach, str. 8

[Yau_and_Nadis_2010,_Ch._6-23] 1 2 Yau i Nadis, pogl. 6

[24] Yau i Nadis, str. ix

[Randall-25] Randall, Lisa; Sundrum, Raman (1999). "An alternative to compactification". Physical Review Letters. 83 (23): 4690–4693. arXiv:hep-th/9906064. Bibcode:1999PhRvL..83.4690R. doi:10.1103/PhysRevLett.83.4690. S2CID 18530420.

[Becker-26] 1 2 Becker, Becker i Schwarz

[27] Zwiebach, str. 376

[Moore_2005,_p._214-28] 1 2 3 Moore, Gregory (2005). "What is ... a Brane?" (PDF). Notices of the AMS. 52: 214–215. Pristupljeno 29. 12. 2016.

[Aspinwall_et_al._2009-29] 1 2 3 Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., ured. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. Clay Mathematics Monographs. 4. American Mathematical Society. str. 13. ISBN 978-0-8218-3848-8.

[Kontsevich_1995-30] 1 2 Kontsevich, Maxim (1995). "Homological Algebra of Mirror Symmetry". Proceedings of the International Congress of Mathematicians. str. 120–139. arXiv:alg-geom/9411018. Bibcode:1994alg.geom.11018K. doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_11. ISBN 978-3-0348-9897-3. S2CID 16733945.

[Kapustin-31] Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program". Communications in Number Theory and Physics. 1 (1): 1–236. arXiv:hep-th/0604151. Bibcode:2007CNTP....1....1K. doi:10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID 30505126.

[Duff_1998-32] 1 2 Duff

[33] Duff, str. 64

[Nahm-34] Nahm, Walter (1978). "Supersymmetries and their representations" (PDF). Nuclear Physics B. 135 (1): 149–166. Bibcode:1978NuPhB.135..149N. doi:10.1016/0550-3213(78)90218-3. Arhivirano (PDF) s originala, 26. 7. 2018. Pristupljeno 25. 8. 2019.

[Cremmer-35] Cremmer, Eugene; Julia, Bernard; Scherk, Joël (1978). "Supergravity theory in eleven dimensions". Physics Letters B. 76 (4): 409–412. Bibcode:1978PhLB...76..409C. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8.

[Duff_1998,_p._65-36] 1 2 3 4 5 Duff, str. 65

[Sen1994a-37] Sen, Ashoke (1994). "Strong-weak coupling duality in four-dimensional string theory". International Journal of Modern Physics A. 9 (21): 3707–3750. arXiv:hep-th/9402002. Bibcode:1994IJMPA...9.3707S. doi:10.1142/S0217751X94001497. S2CID 16706816.

[Sen1994b-38] Sen, Ashoke (1994). "Dyon-monopole bound states, self-dual harmonic forms on the multi-monopole moduli space, and $SL (2, Z)$ invariance in string theory". Physics Letters B. 329 (2): 217–221. arXiv:hep-th/9402032. Bibcode:1994PhLB..329..217S. doi:10.1016/0370-2693(94)90763-3. S2CID 17534677.

[Hull-39] Hull, Chris; Townsend, Paul (1995). "Unity of superstring dualities". Nuclear Physics B. 4381 (1): 109–137. arXiv:hep-th/9410167. Bibcode:1995NuPhB.438..109H. doi:10.1016/0550-3213(94)00559-W. S2CID 13889163.

[40] Duff, str. 67

[Bergshoeff-41] Bergshoeff, Eric; Sezgin, Ergin; Townsend, Paul (1987). "Supermembranes and eleven-dimensional supergravity" (PDF). Physics Letters B. 189 (1): 75–78. Bibcode:1987PhLB..189...75B. doi:10.1016/0370-2693(87)91272-X. S2CID 123289423. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 8. 2019.

[Duff1987-42] Duff, Michael; Howe, Paul; Inami, Takeo; Stelle, Kellogg (1987). "Superstrings in $D =10$ from supermembranes in $D =11$ " (PDF). Nuclear Physics B. 191 (1): 70–74. Bibcode:1987PhLB..191...70D. doi:10.1016/0370-2693(87)91323-2. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 8. 2019.

[43] Duff, str. 66

[Witten1995-44] Witten, Edward (1995). "String theory dynamics in various dimensions". Nuclear Physics B. 443 (1): 85–126. arXiv:hep-th/9503124. Bibcode:1995NuPhB.443...85W. doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O. S2CID 16790997.

[45] Duff, str. 67–68

[46] Becker, Becker i Schwarz, str. 296

[Horava-47] Hořava, Petr; Witten, Edward (1996). "Heterotic and Type I string dynamics from eleven dimensions". Nuclear Physics B. 460 (3): 506–524. arXiv:hep-th/9510209. Bibcode:1996NuPhB.460..506H. doi:10.1016/0550-3213(95)00621-4. S2CID 17028835.

[Duff1996-48] Duff, Michael (1996). "M-theory (the theory formerly known as strings)". International Journal of Modern Physics A. 11 (32): 6523–41 (Sec. 1). arXiv:hep-th/9608117. Bibcode:1996IJMPA..11.5623D. doi:10.1142/S0217751X96002583. S2CID 17432791.

[Banks-49] 1 2 3 Banks, Tom; Fischler, Willy; Schenker, Stephen; Susskind, Leonard (1997). "M theory as a matrix model: A conjecture". Physical Review D. 55 (8): 5112–5128. arXiv:hep-th/9610043. Bibcode:1997PhRvD..55.5112B. doi:10.1103/physrevd.55.5112. S2CID 13073785.

[Connes-50] Connes, Alain (1994). Noncommutative Geometry. Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.

[CDS-51] Connes, Alain; Douglas, Michael; Schwarz, Albert (1998). "Noncommutative geometry and matrix theory". Journal of High Energy Physics. 19981 (2): 003. arXiv:hep-th/9711162. Bibcode:1998JHEP...02..003C. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003. S2CID 7562354.

[Nekrasov-52] Nekrasov, Nikita; Schwarz, Albert (1998). "Instantons on noncommutative $R 4$ and (2,0) superconformal six dimensional theory". Communications in Mathematical Physics. 198 (3): 689–703. arXiv:hep-th/9802068. Bibcode:1998CMaPh.198..689N. doi:10.1007/s002200050490. S2CID 14125789.

[SW-53] Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1999). "String Theory and Noncommutative Geometry". Journal of High Energy Physics. 1999 (9): 032. arXiv:hep-th/9908142. Bibcode:1999JHEP...09..032S. doi:10.1088/1126-6708/1999/09/032. S2CID 668885.

[de_Haro_et_al._2013,_p.2-54] 1 2 3 de Haro, Sebastian; Dieks, Dennis; 't Hooft, Gerard; Verlinde, Erik (2013). "Forty Years of String Theory Reflecting on the Foundations". Foundations of Physics. 43 (1): 1–7 [2]. Bibcode:2013FoPh...43....1D. doi:10.1007/s10701-012-9691-3.

[55] Yau i Nadis, str. 187–188

[Bekenstein-56] Bekenstein, Jacob (1973). "Black holes and entropy". Physical Review D. 7 (8): 2333–2346. Bibcode:1973PhRvD...7.2333B. doi:10.1103/PhysRevD.7.2333. S2CID 122636624.

[Hawking1975-57] 1 2 Hawking, Stephen (1975). "Particle creation by black holes". Communications in Mathematical Physics. 43 (3): 199–220. Bibcode:1975CMaPh..43..199H. doi:10.1007/BF02345020. S2CID 55539246.

[58] Wald, str. 417

[59] Yau i Nadis, str. 189

[Strominger_and_Vafa_1996-60] 1 2 Strominger, Andrew; Vafa, Cumrun (1996). "Microscopic origin of the Bekenstein–Hawking entropy". Physics Letters B. 379 (1): 99–104. arXiv:hep-th/9601029. Bibcode:1996PhLB..379...99S. doi:10.1016/0370-2693(96)00345-0. S2CID 1041890.

[61] Yau i Nadis, str. 190–192

[MSW-62] Maldacena, Juan; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1997). "Black hole entropy in M-theory". Journal of High Energy Physics. 1997 (12): 002. arXiv:hep-th/9711053. Bibcode:1997JHEP...12..002M. doi:10.1088/1126-6708/1997/12/002. S2CID 14980680.

[OST-63] Ooguri, Hirosi; Strominger, Andrew; Vafa, Cumrun (2004). "Black hole attractors and the topological string". Physical Review D. 70 (10). arXiv:hep-th/0405146. Bibcode:2004PhRvD..70j6007O. doi:10.1103/physrevd.70.106007. S2CID 6289773.

[64] Yau i Nadis, str. 192–193

[65] Yau i Nadis, str. 194–195

[Strominger1998-66] Strominger, Andrew (1998). "Black hole entropy from near-horizon microstates". Journal of High Energy Physics. 1998 (2): 009. arXiv:hep-th/9712251. Bibcode:1998JHEP...02..009S. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/009. S2CID 2044281.

[Guica-67] Guica, Monica; Hartman, Thomas; Song, Wei; Strominger, Andrew (2009). "The Kerr/CFT Correspondence". Physical Review D. 80 (12). arXiv:0809.4266. Bibcode:2009PhRvD..80l4008G. doi:10.1103/PhysRevD.80.124008. S2CID 15010088.

[CMS-68] Castro, Alejandra; Maloney, Alexander; Strominger, Andrew (2010). "Hidden conformal symmetry of the Kerr black hole". Physical Review D. 82 (2). arXiv:1004.0996. Bibcode:2010PhRvD..82b4008C. doi:10.1103/PhysRevD.82.024008. S2CID 118600898.

[Maldacena1998-69] 1 2 Maldacena, Juan (1998). "The Large $N$ limit of superconformal field theories and supergravity". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2 (2): 231–252. arXiv:hep-th/9711200. Bibcode:1998AdTMP...2..231M. doi:10.4310/ATMP.1998.V2.N2.A1.

[Gubser-70] 1 2 Gubser, Steven; Klebanov, Igor; Polyakov, Alexander (1998). "Gauge theory correlators from non-critical string theory". Physics Letters B. 428 (1–2): 105–114. arXiv:hep-th/9802109. Bibcode:1998PhLB..428..105G. doi:10.1016/S0370-2693(98)00377-3. S2CID 15693064.

[Witten1998-71] 1 2 Witten, Edward (1998). "Anti-de Sitter space and holography". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2 (2): 253–291. arXiv:hep-th/9802150. Bibcode:1998AdTMP...2..253W. doi:10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2. S2CID 10882387.

[Maldacena_2005,_p._60-73] 1 2 3 Maldacena 2005, str. 60

[Maldacena_2005,_p._61-74] 1 2 Maldacena 2005, str. 61

[75] Zwiebach, str. 552

[76] Maldacena 2005, str. 61–62

[Susskind2008-77] Susskind, Leonard (2008). The Black Hole War: My Battle with Stephen Hawking to Make the World Safe for Quantum Mechanics. Little, Brown and Company. ISBN 978-0-316-01641-4.

[78] Zwiebach, str. 554

[79] Maldacena 2005, str. 63

[Hawking2005-80] Hawking, Stephen (2005). "Information loss in black holes". Physical Review D. 72 (8). arXiv:hep-th/0507171. Bibcode:2005PhRvD..72h4013H. doi:10.1103/PhysRevD.72.084013. S2CID 118893360.

[81] Zwiebach, str. 559

[Kovtun,_Son,_and_Starinets_2001-83] Kovtun, P. K.; Son, Dam T.; Starinets, A. O. (2005). "Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics". Physical Review Letters. 94 (11). arXiv:hep-th/0405231. Bibcode:2005PhRvL..94k1601K. doi:10.1103/PhysRevLett.94.111601. PMID 15903845. S2CID 119476733.

[Luzum-84] Luzum, Matthew; Romatschke, Paul (2008). "Conformal relativistic viscous hydrodynamics: Applications to RHIC results at $\sqrt s NN =200$ GeV". Physical Review C. 78 (3). arXiv:0804.4015. Bibcode:2008PhRvC..78c4915L. doi:10.1103/PhysRevC.78.034915.

[Candelas1985-85] Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985). "Vacuum configurations for superstrings". Nuclear Physics B. 258: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9.

[86] Cvetic, M; Halverson, J.; Shiu, G.; Taylor, W. (2022). "Snowmass White Paper: String Theory and Particle Physics". arXiv:2204.01742 [hep-th].

[87] Yau i Nadis, str. 147–150

[88] Becker, Becker i Schwarz, str. 530–531

[89] Becker, Becker i Schwarz, str. 531

[90] Becker, Becker i Schwarz, str. 538

[91] Becker, Becker i Schwarz, str. 533

[92] Becker, Becker i Schwarz, str. 539–543

[Deligne-93] Deligne, Pierre; Etingof, Pavel; Freed, Daniel; Jeffery, Lisa; Kazhdan, David; Morgan, John; Morrison, David; Witten, Edward, ured. (1999). Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. 1. American Mathematical Society. str. 1. ISBN 978-0-8218-2012-4.

[94] Hori, str. xvii

[95] Hori

[96] Yau i Nadis, str. 167

[97] Yau i Nadis, str. 166

[Yau_and_Nadis_2010,_p._169-98] 1 2 Yau i Nadis, str. 169

[Candelas1991-99] Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parkes, Linda (1991). "A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory". Nuclear Physics B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.

[100] Yau i Nadis, str. 171

[Givental1996-101] Givental, Alexander (1996). "Equivariant Gromov-Witten invariants". International Mathematics Research Notices. 1996 (13): 613–663. doi:10.1155/S1073792896000414. S2CID 554844.

[Givental1998-102] Givental, Alexander (1998). "A mirror theorem for toric complete intersections". Topological Field Theory, Primitive Forms and Related Topics. str. 141–175. arXiv:alg-geom/9701016v2. doi:10.1007/978-1-4612-0705-4_5. ISBN 978-1-4612-6874-1. S2CID 2884104.

[Lian1997-103] Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1997). "Mirror principle, I". Asian Journal of Mathematics. 1 (4): 729–763. arXiv:alg-geom/9712011. Bibcode:1997alg.geom.12011L. doi:10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5. S2CID 8035522.

[Lian1999-104] Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999a). "Mirror principle, II". Asian Journal of Mathematics. 3: 109–146. arXiv:math/9905006. Bibcode:1999math......5006L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6. S2CID 17837291.
Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999b). "Mirror principle, III". Asian Journal of Mathematics. 3 (4): 771–800. arXiv:math/9912038. Bibcode:1999math.....12038L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4.

[Lian2000-105] Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (2000). "Mirror principle, IV". Surveys in Differential Geometry. 7: 475–496. arXiv:math/0007104. Bibcode:2000math......7104L. doi:10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15. S2CID 1099024.

[107] Hori, str. xix

[SYZ-108] Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "Mirror symmetry is T-duality". Nuclear Physics B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. S2CID 14586676.

[Dummit-109] 1 2 Dummit, David; Foote, Richard (2004). Abstract Algebra. Wiley. str. 102–103. ISBN 978-0-471-43334-7.

[Klarreich_2015-111] 1 2 Klarreich, Erica (12. 3. 2015). "Matematičari jure sjenku mjesečara". Quanta Magazine. Arhivirano s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 31. 5. 2015.

[112] Gannon, str. 2

[113] Gannon, str. 4

[Conway-114] Conway, John; Norton, Simon (1979). "Monstrous moonshine". Bull. London Math. Soc. 11 (3): 308–339. doi:10.1112/blms/11.3.308.

[115] Gannon, str. 5

[116] Gannon, str. 8

[Borcherds-117] Borcherds, Richard (1992). "Monstrous moonshine and Lie superalgebras" (PDF). Inventiones Mathematicae. 109 (1): 405–444. Bibcode:1992InMat.109..405B. CiteSeerX 10.1.1.165.2714. doi:10.1007/BF01232032. S2CID 16145482. Arhivirano (PDF) s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 25. 10. 2017.

[FLM-118] Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988). Vertex Operator Algebras and the Monster. Pure and Applied Mathematics. 134. Academic Press. ISBN 978-0-12-267065-7.

[119] Gannon, str. 11

[EOT-120] Eguchi, Tohru; Ooguri, Hirosi; Tachikawa, Yuji (2011). "Notes on the K3 surface and the Mathieu group $M 24$ ". Experimental Mathematics. 20 (1): 91–96. arXiv:1004.0956. doi:10.1080/10586458.2011.544585. S2CID 26960343.

[CDH-121] Cheng, Miranda; Duncan, John; Harvey, Jeffrey (2014). "Umbral Moonshine". Communications in Number Theory and Physics. 8 (2): 101–242. arXiv:1204.2779. Bibcode:2012arXiv1204.2779C. doi:10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a1. S2CID 119684549.

[DGO-122] Duncan, John; Griffin, Michael; Ono, Ken (2015). "Proof of the Umbral Moonshine Conjecture". Research in the Mathematical Sciences. 2. arXiv:1503.01472. Bibcode:2015arXiv150301472D. doi:10.1186/s40687-015-0044-7. S2CID 43589605.

[Witten2007-123] Witten, Edward (2007). "Three-dimensional gravity revisited". arXiv:0706.3359 [hep-th].

[FOOTNOTERickles2014147-124] Rickles 2014, str. 147.

[FOOTNOTERickles2014208-125] Rickles 2014, str. 208.

[126] Woit, str. 240–242

[Woit_2006,_p._242-127] 1 2 Woit, str. 242

[Weinberg-128] Weinberg, Steven (1987). "Anthropic bound on the cosmological constant". Physical Review Letters. 59 (22): 2607–2610. Bibcode:1987PhRvL..59.2607W. doi:10.1103/PhysRevLett.59.2607. PMID 10035596.

[129] Woit, str. 243

[Susskind2005-130] Susskind, Leonard (2005). The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design. Back Bay Books. ISBN 978-0-316-01333-8.

[131] Woit, str. 242–243

[132] Woit, str. 240

[133] Woit, str. 249

[134] Kachru, Shamit; Kallosh, Renata; Linde, Andrei; Trivedi, Sandip P. (2003). "de Sitter Vacua in String Theory". Phys. Rev. D. 68 (4). arXiv:hep-th/0301240. Bibcode:2003PhRvD..68d6005K. doi:10.1103/PhysRevD.68.046005. ISSN 0556-2821. S2CID 119482182.

[135] Wolchover, Natalie (9. 8. 2018). "Tamna energija možda nije kompatibilna s teorijom struna". Quanta Magazine. Simons Foundation. Arhivirano s originala, 15. 11. 2020. Pristupljeno 2. 4. 2020.

[136] Smolin, str. 81

[137] Smolin, str. 184

[Polchinski_2007-138] 1 2 Polchinski, Joseph (2007). "All Strung Out?". American Scientist. 95: 72. doi:10.1511/2007.63.72. Arhivirano s originala, 7. 4. 2017. Pristupljeno 29. 12. 2016.

[139] Smolin, Lee (april 2007). "Odgovor na recenziju knjige The Trouble with Physics od Joea Polchinskog". kitp.ucsb.edu. Arhivirano s originala, 5. 11. 2015. Pristupljeno 31. 12. 2015.

[140] Penrose, str. 1017

[141] Woit, str. 224–225

[142] Woit, pogl. 16

[143] Woit, str. 239

[144] Penrose, str. 1018

[145] Penrose, str. 1019–1020

[146] Smolin, str. 349

[147] Smolin, pogl. 20

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[a]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[b]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[c]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]