A d^o n-line is a connected union of n unit line segments that intersect only at their endpoints, and form angles that are multiples of d^o. For two given polylines, what is the smallest figure that can be tiled individually by them? For a given subset of n-lines, what is the smallest figure that can be tiled by those n-lines but no other? And for a given polyline, what is the smallest figure that can be tiled by it in multiple ways? For all of these questions, the answer may depend on whether we allow crossings or not.

Here are the best known compatibilities:

		crossing: no crossing:

				crossing: no crossing: (George Sicherman)	crossing: no crossing: (George Sicherman)
	crossing: no crossing: ?

		crossing: no crossing:		crossing: no crossing: (George Sicherman)	crossing: no crossing: (George Sicherman)
					(George Sicherman)

	1	2 / 4	4	2 / 4	1	2 / 4	2	2	2	2	1	1 / ∞	2 / 4	∞	4 / ∞	2 / ∞
	4 / ∞	2 / 4	2 / 4	2 / 4	2	2	1	1	1	1	2	1	2	1	1	1

	3	3	3 / 12	6 / ∞	6 / ∞	6 / ∞	6 / ∞	12 / ∞	18 / ∞	6	9	9 / ∞	6	∞	12 / ∞	6 / ∞
	3 / 6	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3 / 12	3 / 12	3 / ∞	3 / 6	3
	6 / ∞	6	3	3 / 6	6 / ∞	6	3	6	6	3	3	3	3	∞	6	3
	12 / ∞	3 / ∞	6	6	9 / ∞	3	3	6	6 / 12	6	6 / ∞	∞	3	3	3	3
	18 / ∞	6 / 24	6	3	6 / ∞	6	3	3 / 6	3	3	9 / 18	3	3	3	3	3

Here are the pictures of the largest compatibilities:

	∞	2 / 4	4	6 / ?	2 / 4	4 / ∞	8 / ∞	4 / ∞	16 / ∞	8 / ∞	4	4 / ∞	8 / ?	∞	32 / ?	8 / ∞
		2	2	2	4	2	4	2 / 4	2 / 4	4	4	4 / ∞	2	4 / ∞	4 / ?	4 / ?
			2	2	4	4	2 / 4	4	4	2 / 4	4	4	2	∞	8	4 / 12
				2 / 4	2 / 4	2	4	4	4	2 / 4	4	2 / ?	2	∞	2 / 4	2 / 4
					2	2 / 4	2	2	2	2 / ?	2	2 / ∞	4 / ?	∞	4 / ?	2 / ∞
						2	4	4	2 / 4	4	4	8 / ?	4	2 / 4	2 / 4	2 / 4
							2	2	2	2	2	∞	2	∞	2	2
								2	2	4	6	4	4	8 / ?	2	4
									4 / ∞	2	2	∞	4 / 8	2 / ?	2 / 4	2
										2	2	2	4	4	2	2
											2	∞	2 / 4	∞	8 / ?	12 / ?
												∞	4	∞	4	2
													2	4	4	2
														∞	2	2
															2	2
																4

Here is a picture of the largest compatibility:

George Sicherman found many multiple tiling numbers of the 90^o pentalines:

L U

L T crossing: (George Sicherman) no crossing:

T U crossing: (George Sicherman) no crossing:

T S

I L T

I L U crossing: (George Sicherman) no crossing:

L T S

		crossing: no crossing: (George Sicherman)	crossing: no crossing:

	4 / ?	4 / 8	2	4	4 / 24	2 / 8	2	4 / 8	2	4 / ?	2 / ?	2
	4 / 6	2	2 / 4	2	2	2	2	2	2	2	2	4 / ?
	2	2	2	2	2	2	2	2 / 4	2 / 6	2	2 / 6	4 / 18

	∞	2 / 3	2 / 4	2	3	∞	3	3 / ∞	4 / ∞	6 / ∞	∞	6 / ∞
		3	2	2 / 3	2	3	3	2 / 3	2	2	3	4
			2 / 3	2 / 3	2 / 3	3	2	6 / 24	2 / 3	3 / ?	9 / ?	2 / 3
				2	2 / 3	2	3	2	2 / 3	2 / 3	2	6 / ?
					3	4	2	6 / ?	4 / ?	3	∞	6 / ?
						2	2 / 3	2	3	3 / 6	2 / ∞	18 / ?
							2 / 3	3	2	2	2 / 3	3
								2	2 / 3	4	∞	3 / ?
									3	2	3 / 6	2 / 3
										3	3	6 / ?
											∞	9 / ∞
												∞

George Sicherman found many multiple tiling numbers of the 60^o tetralines:

I L (George Sicherman)

I V

L V

I L V crossing: no crossing: ?

		crossing: no crossing: (George Sicherman)

George Sicherman found many compatibilities of the 72^o bilines and trilines:

George Sicherman found many compatibilities of the 72^o trilines, both with crosses and without:

George Sicherman found many multiple tiling numbers of the 72^o trilines:

George Sicherman also found many compatibilities of the 51^o bilines:

George Sicherman also found multiple tiling numbers of the 51^o bilines and trilines:

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 5/11/07.