Sistema numerico decimale

Per sistema numerico decimale si intende il sistema di numerazione posizionale a base 10 (denominato anche indo-arabo) che, per rappresentare i numeri, utilizza dieci cifre da 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). In senso matematico stretto, un sistema decimale è un sistema con una base costituita da dieci elementi, che non necessariamente deve essere posizionale (ad esempio il sistema di numerazione romano o il tradizionale sistema cinese).

Il sistema decimale costituisce lo standard globale per la rappresentazione dei numeri interi e non interi.

Notazione decimale

Per scrivere i numeri, il sistema decimale impiega dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), un separatore decimale e, per indicare i numeri negativi, il segno meno ( $-$ ). Mentre nel mondo anglosassone il separatore decimale standard è convenzionalmente il punto (ad esempio 3.14), in Italia e in gran parte dell'Europa continentale la norma prevede l'impiego della virgola (ad esempio 3,14).

La notazione matematica di un numero decimale non intero si scompone in questo modo:

Una sequenza finita di cifre posta a sinistra del separatore decimale (ad esempio 2017 in 2017,708), che rappresenta la parte intera.
Una sequenza di cifre posta a destra del separatore, che rappresenta la parte frazionaria.

Il contributo di ciascuna cifra al valore complessivo del numero dipende strettamente dalla sua posizione (unità, decine, centinaia, decimi, centesimi, e così via). Aggiungere zeri alla fine della parte frazionaria (ad esempio 5,200 al posto di 5,2) o all'inizio della parte intera (ad esempio 003,14 al posto di 3,14) non altera il valore del numero. Tuttavia, in ambito scientifico, l'aggiunta di zeri finali dopo la virgola è essenziale per indicare la precisione di una misurazione.

Frazioni decimali e approssimazione

Le frazioni decimali (talvolta chiamate semplicemente "numeri decimali") sono i numeri razionali che possono essere espressi tramite una frazione il cui denominatore è una potenza di 10. Ad esempio, i numeri decimali $0,8$ e $3,14159$ rappresentano rispettivamente le frazioni $8/10$ e $314159/100000$ . Espressi sotto forma di frazioni irriducibili, i numeri decimali sono quelli i cui denominatori possiedono esclusivamente 2 e 5 come fattori primi.

I numerali decimali non consentono una rappresentazione esatta per tutti i numeri reali (ad esempio la frazione $1/3$ non può essere scritta con un numero finito di decimali, non essendo il 3 una potenza di 10). Ciononostante, essi permettono di approssimare qualsiasi numero reale con l'accuratezza desiderata: la cifra 3,14159 approssima il pi greco discostandosi per meno di $10^{-5}$ . Proprio per tale motivo i decimali sono ampiamente sfruttati nelle scienze e nell'ingegneria.

Spesso i numeri sono il risultato di misurazioni empiriche, le quali sono sempre soggette a incertezza di misurazione. Nelle scienze esatte, un risultato numerico viene espresso con un determinato numero di cifre decimali non casuale, allo scopo di indicare i limiti di tolleranza dell'errore (le cosiddette cifre significative). Ad esempio, sebbene 0,080 e 0,08 rappresentino matematicamente lo stesso numero, la notazione 0,080 suggerisce una misurazione condotta con un margine d'errore inferiore a 0,001, mentre la notazione 0,08 indica un errore assoluto stimato fino a 0,01.

Espansione decimale infinita

Ogni numero reale ha una espansione decimale infinita. Se un numero razionale non è una frazione decimale (come ad esempio $1/3$ ), l'operazione di divisione non terminerà mai e, dopo una certa posizione dopo la virgola, la medesima sequenza di cifre inizierà a ripetersi all'infinito: si ottiene così un numero periodico. Ad esempio: $81/999=0,081081081...$ (in cui il gruppo $081$ si ripete indefinitamente).

Ogni frazione decimale (dunque avente un numero finito di cifre dopo la virgola) possiede sempre esattamente due espansioni decimali infinite: una contenente unicamente zeri dopo un certo punto, e una contenente unicamente dei 9. Questo fatto matematico implica una celebre dimostrazione analitica: il numero decimale $0,999...$ (con una sequenza di nove che si ripete all'infinito) rappresenta esattamente il numero $1$ .

Calcolo informatico

Oggigiorno l'hardware e il software dei moderni computer processano l'informazione impiegando una rappresentazione interna basata sul sistema numerico binario (base 2).

Tuttavia, il calcolo binario non è sempre esatto: le potenze negative del 10 (ovvero le normali frazioni decimali come $0,1$ ) non possono essere convertite in frazioni binarie finite, generando così arrotondamenti infiniti nel calcolatore. Per superare questo ostacolo fatale (soprattutto nel caso dei calcoli finanziari, bancari e contabili in cui l'arrotondamento infinitesimale porta a mostruosi errori sui grandi capitali), quasi tutti i software matematici e gestionali operano convertendo o archiviando i dati in una codifica mista, come ad esempio la codifica BCD (Binary-coded decimal), oppure implementando formati in virgola mobile puramente decimali (come nello standard IEEE 754), permettendo così alla macchina di fare calcoli aritmetici esatti in base 10.^[1]

Origini e diffusione

Prima della codifica della tetraktys di Pitagora da parte dei Greci, sia le civiltà minoica e micenea sia i Sumeri e gli antichi Egizi (3000 a.C.) facevano uso di una numerazione in base dieci non posizionale, impiegando geroglifici o simboli diversi per contrassegnare le potenze del dieci. Tali approcci si svilupparono prima che venissero inventate le cifre vere e proprie e prima che si diffondesse la scrittura posizionale.

Il successo universale della base 10 è generalmente ricondotto all'anatomia umana: costituendo le mani il primo e più intuitivo ausilio al conto empirico, l'uso del sistema decimale fu il diretto risultato fisiologico del fatto che l'uomo possiede dieci dita (come notato in epoca antica anche da Aristotele).^[2]

I calcoli con bastoncini cinesi

Il primissimo e più rudimentale sistema decimale a natura posizionale di cui si abbia traccia è l'antico sistema a bastoncelli cinese (attestato dal 305 a.C.). Nel III secolo d.C. i cinesi usavano già tali asticelle per comporre frazioni decimali in forma posizionale e, nel XIII secolo, operavano di routine calcoli complessi con i decimali per indicare numeri e non più solo per le misurazioni lineari.^[3] Alcuni storici ipotizzano che quest'idea primordiale di frazione decimale posizionale possa essere stata poi trasmessa dalla Cina al Medio Oriente.

Il sistema indo-arabo

Le vere fondamenta operative del sistema posizionale decimale che usiamo tuttora (denominato indo-arabo) risalgono all'India (tra il 400 a.C. e il 400 d.C.), dove i matematici locali svilupparono un sistema a base 10 formalmente evoluto. Un'innovazione fondamentale fu l'introduzione dello zero (chiamato śūnya, "vuoto" in sanscrito), che permise di indicare formalmente l'assenza di unità in una data posizione gerarchica e di astrarre il concetto di calcolo.^[4]

Questo sistema matematico indiano venne adottato, studiato e perfezionato nel mondo arabo-islamico. Nel IX secolo, il matematico persiano Al-Khwarizmi pubblicò un trattato sulle cifre indiane. Successivamente, nel XV secolo, lo scienziato persiano Jamshid al-Kashi gettò le basi per una trattazione rigorosa e sistematica delle frazioni decimali, anticipando le pubblicazioni europee di quasi 175 anni.^[5]

L'arrivo in Europa

La popolarizzazione del sistema decimale indo-arabo in ambito commerciale europeo avvenne a partire dal 1202, quando il matematico italiano Leonardo Fibonacci pubblicò il celebre trattato Liber abbaci, descrivendo la strabiliante utilità pratica del nuovo metodo per i mercanti e per le operazioni di contabilità. Sebbene fosse intrinsecamente superiore rispetto al sistema di numerazione romano, trascorsero vari secoli prima che le cifre indo-arabe sostituissero integralmente la numerazione latina negli usi governativi e popolari europei.

La rappresentazione e il calcolo esatto dei numeri con la virgola vennero formalizzati per il mondo occidentale in epoca rinascimentale, in particolare dal matematico fiammingo Simon Stevin che, nel 1585, ne illustrò l'impiego operativo nel saggio La Disme.^[6]

In epoca più recente, il sistema numerico decimale ha costituito il principale fattore strutturale per l'introduzione (avvenuta a ridosso della Rivoluzione francese) del Sistema internazionale di unità di misura, all'interno del quale tutte le grandezze fisiche di riferimento presentano multipli e sottomultipli rigidamente corrispondenti a potenze positive e negative del 10.

Il decimale nelle lingue naturali

La base 10 si riflette palesemente nella struttura etimologica di innumerevoli lingue naturali sparse per il mondo, le quali manifestano l'assenza e la presenza di irregolarità nel pronunciare e comporre linguisticamente le cifre.

Le lingue asiatiche appartenenti al ceppo cinese e giapponese sono quasi tutte dotate di un sistema decimale linguisticamente "perfetto": la parola associata al numero 11, ad esempio, si pronuncia testualmente e regolarmente come "dieci-uno", 12 come "dieci-due" e 23 come "due-dieci-tre".

Nella lingua italiana e in gran parte delle lingue indoeuropee, invece, si presentano marcate forme di deviazione linguistica e irregolarità: i numeri della prima decina presentano infatti contrazioni e parole composte distorte, come "undici" (invece dell'atteso *dieci-uno*) o "sedici". Questo schema di deviazione italo-romanza permane dal numero 11 al 16, per poi ripristinare il corretto allineamento logico e normativo della base decimale dal numero 17 ("diciassette") fino al 19 ("diciannove").

Note

↑ Mike F. Cowlishaw, Decimal Floating-Point: Algorism for Computers, 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, IEEE Computer Society, 2003, pp. 104-111.
↑ Antichi sistemi di numerazione, su dm.unife.it. URL consultato il 18 giugno 2024.
↑ Joseph Needham, 19.2 Decimals, Metrology, and the Handling of Large Numbers, in Science and Civilisation in China, III, Cambridge University Press, 1959, pp. 82-90.
↑ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990, ISBN 978-8804334316.
↑ Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Kluwer Academic Publishers, 1994, p. 149.
↑ B. L. van der Waerden, A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag, 1985.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

sistema decimale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Decimal, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4149429-5 · J9U (EN, HE) 987007283946805171

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[1] Mike F. Cowlishaw, Decimal Floating-Point: Algorism for Computers, 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, IEEE Computer Society, 2003, pp. 104-111.

[2] Antichi sistemi di numerazione, su dm.unife.it. URL consultato il 18 giugno 2024.

[3] Joseph Needham, 19.2 Decimals, Metrology, and the Handling of Large Numbers, in Science and Civilisation in China, III, Cambridge University Press, 1959, pp. 82-90.

[4] Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990, ISBN 978-8804334316.

[5] Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Kluwer Academic Publishers, 1994, p. 149.

[6] B. L. van der Waerden, A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag, 1985.

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