Kocka

A kocka

A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú lapja és 12 egyenlő hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A négyzet térbeli megfelelője. Hasáb, szabályos test.

Matematikai összefüggések

Egy $a$ élű kocka esetén

felszíne	$6a^{2}\,$
térfogata	$a^{3}\,$
beírható gömb sugara	${\frac {a}{2}}$
köréírható gömb sugara	${\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}$
éleit érintő gömb sugara	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$

Szimmetriái

A kockának

• három négyfogású forgástengelye (szemben fekvő oldalak középpontjain át)
• négy háromfogású forgástengelye (testátlók)
• hat kétfogású forgástengelye (élfelező pontokon át)
• kilenc szimmetriasíkja
• egy szimmetriaközéppontja (középpont)

van.

Az identitást leszámítva a négyfogású tengelyek három-három, a háromfogású tengelyek két-két szimmetriát adnak. Összesen a kocka szimmetriacsoportjának 48 eleme van. Ez a kocka- vagy oktaédercsoport.

Descartes-koordináták

Egy origó közepű, 2 élhosszú, a tengelyekkel párhuzamos élű kocka csúcsainak koordinátái:(±1, ±1, ±1), aminek belsejét azok az (x₀, x₁, x₂) pontok alkotják, ahol −1 < x_i < 1.

Egyenlet R³-ben

A koordináta-geometriában az (x₀, y₀, z₀) közepű és 2a élhosszú kocka azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:

$\lim _{n\to \infty }\left[(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}\right]=0.$

Mértani arányok

A kocka testhálói

A kockának 11 lényegesen különböző testhálója van, csak úgy, mint duálisának, az oktaédernek. A lapok színezéséhez legalább 3 szín kell.

A kocka az egyetlen szabályos test, amivel a tér hiánytalanul kitölthető. A szabályos poliéderek között egyedül neki vannak páros oldalszámú lapjai, így az egyetlen platóni test, ami zonoéder, vagyis aminek minden lapja középpontosan szimmetrikus.

Kocka kontra oktaéder

• A kocka duális poliédere az oktaéder.

A kocka és az oktaéder segítségével további testek konstruálhatók, amiknek szintén az oktaédercsoport a szimmetriacsoportja:

• csonkított kocka, hat nyolcszög- és nyolc háromszöglappal
• kuboktaéder hat négyzet- és nyolc háromszöglappal.

A rektifikált kocka kuboktaéder.

• csonkított oktaéder hat négyzet- és nyolc hatszöglappal

Kocka és oktaéder egyesítéseként kapható

• a rombododekaéder 14 csúccsal és 12 rombuszlappal
• Az egységnyi élhosszú kocka duális oktaéderének élhossza ${\sqrt {2}}$.

Uniform oktaéderes poliéderek

Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{4,3} s{31,1}
Az uniform poliéderek duálisai
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

A Dih₄ diéderszimmetriával a kocka topológiai kapcsolatban áll a 4.2n.2n uniform poliéderekkel és parkettázásokkal, amelyek a hiperbolikus síkon folytatódnak:

A 4.2n.2n csonkított poliéderek és parkettázások családja

Szimmetria *n42 [n,4]	Gömbi		Euklideszi	Hiperbolikus...
	*242 [2,4] D4h	*342 [3,4] Oh	*442 [4,4] P4m	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Csonkított alakzatok	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Uniform duális alakzatok
n-kisz alakzatok	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Mindezek oktaéderes szimmetriájúak.

Kapcsolatai más poliéderekkel

Kocka és duálisa

A félkocka egy szabályos projektív test

• A kocka egy tetszőleges csúcsát összekötve az ebben a csúcsban összefutó négyzetlapok nem szomszédos csúcsaival, szabályos tetraédert kapunk. Egy ilyen tetraéder térfogata a kocka térfogatának egyharmadát teszi ki. A maradék négy egybevágó, nem szabályos gúla (szintén tetraéder) térfogata egyenként a kocka térfogatának hatoda.
• A kocka csúcsai ily módon két, egymáshoz képest középpontosan szimmetrikus szabályos tetraédert határoznak meg. (Ezek metszete oktaéder.)
• A kocka hat négyzet alapú gúlára osztható úgy, hogy szimmetriaközéppontját a csúcsokkal összekötő szakaszok mentén szétvágjuk. Ha ezeket egy másik kocka lapjaihoz illesztjük, akkor rombododekaédert kapunk.

A kocka dodekaéderbe írható úgy, hogy a kocka csúcsai a dodekaéder csúcsaira illeszkednek, és a kocka élei a dodekaéder lapátlói.

• Az antipodális leképezés egy félkockát ad, ami egy projektív poliéder.

A kocka több általánosabb poliédernek is speciális esete:

Név	Egyenlő élhosszak	Egyenlő élek	Derékszögek
Kocka	igen	igen	igen
Romboéder	igen	igen	nem
Kuboid	nem	igen	igen
Paralelepipedon	nem	igen	nem
Általános négyszöglapú hexaéder	nem	nem	nem

A kocka topológiai kapcsolatban áll a 3 csúcsalakzatú gömbi poliéderekkel és parkettázásokkal:

Gömbi poliéderek	Szabályos poliéderek			Euklideszi	Hiperbolikus parketták
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	...	(∞,3)

A kocka kapcsolódik a négyzetes parkettázásokhoz is, amelyek a hiperbolikus síkon folytathatók: {4,p}, p=3,4,5...

{4,3}

{4,4}

{4,5}

{4,6}

{4,7}

{4,8}

...

{4,∞}

A kocka a rombikus poliéderek és csempézések azon sorozatába is beletartozik, amelynek szimmetriája az [n,3] Coxeter-csoport. A kocka tekinthető rombikus hexaédernek, ahol a rombuszok négyzetek.

A 3.n.3.n félig szabályos poliéderek és csempézések családja

Szimmetria *n32 [n,3]	Gömbi			Euclidean	Hiperbolikus parketta
	*332 [3,3] Td	*432 [4,3] Oh	*532 [5,3] Ih	*632 [6,3] p6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]
Félig szabályos alakzatok Konfiguráció]	3.3.3.3	3.4.3.4	3.5.3.5	3.6.3.6	3.7.3.7	3.8.3.8	3.∞.3.∞
Duaális (rombikus) alakzatok Konfiguráció	V3.3.3.3	V3.4.3.4	V3.5.3.5	V3.6.3.6	V3.7.3.7	V3.8.3.8	V3.∞.3.∞

A kocka négyzet alapú hasáb:

Az uniform hasábok családja

Szimmetria	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Kép
Gömbi poliéderként
Kép

Trigonális trapezoéderként a kocka beletartozik a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába.

Uniform hatszöges gömbi poliéderek

Szimmetria: diéder [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[1+,6,2], (322)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	2t{6,2}=t{2,6}	2r{6,2}={2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	h{6,2}	s{2,6}
Uniform duálisok
V62	V122	V62	V4.4.6	V26	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V32	V3.3.3.3

A kocka szabályos és uniform összetett testei

Három kocka

Öt kocka

Térkitöltések

A tér 28 konvex uniform rácsszerkezete közül 9 kapcsolódik a kockához:

Kockarács	Csonkított négyzetes hasáb térrács	Snub négyzetes hasáb térrács	Hosszú háromszöges hasáb térrács	Forgatva nyújtott háromszöges hasáb térrács
Cantellated kockarács	Élcsonkított kockarács	Runcitruncated kockarács	Runcinated alternated kockarács

Merőleges vetületei

A kockának négy merőleges vetülete van, aminek középpontja csúcs, élfelező, lapközéppont és a csúcsalakzatának normálisa. Az első és a harmadik rendre megfelel az A₂ és a B₂ Coxeter-síkoknak.

Merőleges vetületek

Középpont	Lap	csúcs
Coxeter-sík	B2	A2
Projektív szimmetria	[4]	[6]
Nézetek

Általánosítása

A kocka tetszőleges dimenziós analogonjait szintén kockának nevezik. Ezek is szabályos politópok. Az n dimenziós kockának $2^{n-k}{n \choose k}$ darab k dimenziós határoló lapja van. Speciálisan,

• egydimenziós kocka (szakasz): 2 csúcs, 1 él
• kétdimenziós kocka (négyzet): 4 csúcs, 4 él, 1 lap
• négydimenziós kocka (tesszerakt): 16 csúcs, 32 él, 24 lap, 8 térlap
• n dimenziós kocka: $2^{n}$ csúcs, $n$ $2^{n-1}$ él, $(n^{2}-n)$ $2^{n-3}$ lap, $n\left({\frac {n^{2}+2}{3}}-n\right)*2^{n-4}$ térlap, és $2n$ oldal

Az n dimenziós kocka egy modellje az Rⁿ vektortérbeli Iⁿ egységkocka.

Az egységkocka

• $I^{n}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid 0\leq x_{i}\leq 1\right\}$
• $I^{n}=[0,1]\times \cdots \times [0,1]$, az egységintervallum n-szeres Descartes-szorzata
• a 2ⁿ csupa 0 - 1 koordinátájú pont konvex burka
• a 2n $x_{i}\geq 0$ és a $x_{i}\leq 1$ alakú féltér metszete

Az egységkocka élhossza 1, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és egyik csúcsa az origó.

A kocka egy másik modellje az a kocka, aminek csúcsai a (±1, ±1,... ±1) Descartes-koordinátájú pontok. Ennek a belseje azokból a pontokból áll, amik összes koordinátájára −1 < x _i < 1.

A kocka öt négy dimenziós uniform politópot határol:

Tesszerakt, hiperkocka	Cantellated 16-cella	Runcinated tesszerakt	Cantitruncated 16-cella	Runcitruncated 16-cella

A kombinatorikában

Egy másik fajta kocka a kockagráf. Ennek csúcsai a kocka csúcsainak, élei a kocka éleinek felelnek meg. Általánosítása a hiperkockagráf.

Egy másik általánosítás a háromdimenziós Hamming-gráf. A kockagráf a d = 2 esetnek felel meg. A Hamming-gráfokat és a hiperkocka gráfokat a párhuzamos programozásban használják ahhoz, hogy az egyes processzorok elég jól össze legyenek kötve, és az elméletek számára is könnyen kezelhető architektúrát adjanak.

Legyen S q elemű halmaz, és d pozitív egész. A H(d,q) Hamming-gráf csúcsai az S halmaz elemeinek d-esei. Két csúcs szomszédos akkor és csak akkor, ha egy koordinátában különböznek.

Előfordulása, alkalmazásai

Dobókockák (K6)

Rubik-kocka

• A kubán nevű szerves vegyület váza kocka alakú. Erről is kapta a nevét (angol: cube).
• Legismertebb alkalmazása a hagyományos dobókocka. A szerepjátékokban, ahol más dobótesteket is használnak, K6 néven emlegetik.
• Rubik Ernő világhírű találmánya szintén kocka alakú.
• A köznyelvben a kétdimenziós, négyzethálós mintát is kockásnak nevezik. Például kockás füzet, kockás ing, kockás piton.

Források

• A kocka és a kocka testhálójának különféle ábrázolásai
• Kockarejtvények
• Magasabb dimenziós kockák interaktív ábrázolása
• Weisstein, Eric W. "Cube" (angol nyelven). Wolfram MathWorld.
• Interaktív kockamodell
• K.J.M. MacLean, Az öt szabályos test és a többi félig szabályos test geometriai elemzése
• Uniform poliéderek
• Poliéderek a virtuális valóságban
• A kocka térfogata interaktív animációval