Parabola

{\displaystyle l} — Parabolas īpašība — attālums starp direktrises līniju $l$ un fokusa punktu $F$ ir vienāds visiem parabolas punktiem

Parabola ir visu to plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no kāda fiksēta plaknes punkta un kādas fiksētas plaknes taisnes (kas neiet caur fiksēto punktu). Šo punktu sauc par parabolas fokusu, bet taisni - par parabolas direktrisi. Parabola ir viena no otrās kārtas līknēm.
Parabolu var iegūt arī, šķeļot konusu ar plakni, kas paralēla kādai no tā veidulēm. Dažas parabolas var būt funkcijas formā (kad vienai x vērtībai atbilst viena y vērtība), tad tās vienādojums ir pierakstāms formā $y=ax^{2}+bx+c$ , kur $a,b,c$ ir reāli koeficienti.

Parabola reālajā pasaule ir sastopama slīpi pret horizontu sviesta ķermeņa trajektorijā. Fizikā pierāda, ka šādā gadījumā ķermeņa trajektorija ir parabola, ja neņem vērā gaisa pretestību. Pie noteiktiem nosacījumiem paraboliska trajektorija var būt kosmosā lidojošam ķermenim, tomēr visbiežāk to trajektorijas ir eliptiskas. Parabolai ir arī optiska īpašība, ka visiem direktrisei perpendikulāriem stariem atstarojoties, tie krustosies parabolas fokusā.^[1] Šo īpašību izmanto satelītu antenu formā, lukturu formā u.c. situācijās, kur nepieciešams fokusēt gaismu vai citu starojumu.

Vienādojums

Parabolas kanoniskais vienādojums ir

y^{2}=2px

,

p>0

.^[2]

Parametrs $p$ ir attālums starp direktrisi un parabolas fokusu. Parabolai ar šādu vienādojumu tās simetrijas ass sakrīt ar X asi.

Ja koeficients pie x ir negatīvs, tad parabolas zari būs vērsti uz leju, savukārt, ja pozitīvs — uz augšu.

Izvedums

Lai iegūtu kanonisko vienādojumu, izvēlamies, lai x ass iet caur fokusu perpendikulāri direktrisei un y ass būtu vienādā attālumā no fokusa un direktrises pie $y=0$ . Līdz ar to direktrises vienādojumu var ņemt kā $x=-{\frac {p}{2}}$ un fokusa koordinātes ņemt par $F=\left({\frac {p}{2}},0\right)$ . Ar $P(x,y)$ apzīmēsim brīvi izraudzītu parabolas punktu. No šī iegūst, ka direktrises punkta koordinātas ir $M\left(-{\frac {p}{2}},y\right)$ . Tad apskatot šo punktu veidotos vektorus, to garumiem ir jāsakrīt $|{\vec {FP}}|=|{\vec {MP}}|\longrightarrow {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left(y-0\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left(y-y\right)^{2}}}$ , kāpinot abas puses kvadrātā un atverot iekavas, iegūst $x^{2}-px+{\frac {p^{2}}{4}}+y^{2}=x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}$ , vienkāršojot iegūst $y^{2}=2px$ .^[2]

Optiskā īpašība

Parabolai piemīt īpašība, ka stari, kas nāk no fokusa atstarosies pret parabolu un būs paralēli (arī otrādi- direktrisei perpendikulāri stari atstarosies un krustosies fokusā). Ja staru kūlis ir paralēls, bet nav paralēls optiskajai asij, stari vairs nekrustosies fokusā, tie krustosies citā punktā.^[3]

Speciālgadījuma izvedums

Apskatīsim situāciju, kad ienākošie stari ir perpendikulāri direktrisei. Lai pierādītu šo optisko īpašību, pietiek pierādīt vienu ģeometrisku īpašību- ienākošais stars atstarojas no parabolas kādā punktā, sauksim šo punktu par $P$ . Līnija, kas savieno fokusu $F$ ar punktu $P$ veido tādu pašu leņķi ar parabolas pieskari punktā $P$ kādu veido stars ar punktu $P$ .

No sākuma var iegūt pieskares vienādojumu caur kanoniskā vienādojuma atvasināšanu:

$y^{2}=2px\longrightarrow 2yy'=2p\longrightarrow y'={\frac {p}{y}}$ , kas atbilst slīpuma koeficientam. Apskatām šo punktu $P=(x_{p},y_{p})$ , ievietojot pieskares vienādojumā iegūst: $y'={\frac {p}{y_{p}}}$ . Izmantojot to, ka pieskares taisne iet caur punktu $P$ iegūst vienādojumu: $y={\frac {p}{y_{p}}}x+(y_{p}-{\frac {p}{y_{p}}}x_{p})$ (no slīpuma koeficienta iegūst taisnes slīpumu, tad loceklis $y_{p}-{\frac {p}{y_{p}}}x_{p}$ piekoriģē augstumu, lai vienādojums izpildītos pie vērtību pāra $x=x_{p},\ y=y_{p}$ ). Tagad var definēt punktu $B$ , kas atbilst vietai, kur pieskares taisne krusto x asi, tas ir $B=(b,0)$ . Ievietojot pieskares taisnes vienādojumā, iegūst: $0={\frac {p}{y_{p}}}b+(y_{p}-{\frac {p}{y_{p}}}x_{p})$ , izsakot $b$ iegūst $b=x_{p}-{\frac {y_{p}^{2}}{p}}$ . Tā kā $y_{p}$ atrodas uz parabolas, var pielietot parabolas vienādojumu un aizstāt $y_{p}^{2}=2px_{p}$ . Ievietojot $b$ izteiksmē iegūst: $b=x_{p}-{\frac {2px_{p}}{p}}=-x_{p}$ . Papildus var definēt punktu $M$ , kas atbilst tuvākajam punktam, no direktrises līdz patvaļīgajam parabolas punktam $P$ , tas ir $M=\left(-{\frac {p}{2}},y_{p}\right)$ . Apskatot dažādus līniju garumus iegūst: $|BF|={\sqrt {(p-(-x_{p}))^{2}+(0-0)^{2}}}={\frac {p}{2}}+x_{p}$ , $|FP|={\sqrt {\left(x_{p}-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+(y_{p}-0)^{2}}}={\sqrt {x_{p}^{2}-px_{p}+{\frac {p^{2}}{4}}+2px_{p}}}={\sqrt {\left(x_{p}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}}}=x_{p}+{\frac {p}{2}}$

$|PM|=|FP|=x_{p}+{\frac {p}{2}}$ (direktrise un fokuss ir vienādā attālumā no punktiem uz parabolas), $|MB|={\sqrt {\left(-x_{p}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+(0-y_{p})^{2}}}=x_{p}+{\frac {p}{2}}$ (tā pati forma, kas $|FP|$ ). Līdz ar to $BFPM$ ir rombs un parabolas pieskares punkts iet caur punktiem $BP$ un ir kā romba diagonāle. Tā kā romba diagonāle ir kā bisektrise, caur krustleņķiem iegūst, ka meklētie leņķi ir vienādi. Q.E.D.^[4]