Matriseregning er regning med matriser. Matriser kan i mange sammenhenger regnes med på samme måte som tall og vektorer. For eksempel kan man finne summen av to matriser og man kan gange to matriser med hverandre.
matriseregning
To matriser\[ A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\]har sum
\[ A+B =\begin{bmatrix} a_{11} +b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix} \]
Det er bare mulig å legge sammen matriser som har samme størrelse (samme antall rader og samme antall kolonner).
Produktet av et tall c og en matrise A er den matrisen som oppnås ved å gange (multiplisere) hvert av elementene i A med tallet c.
\[cA = c\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \end{bmatrix}\]
Eksempel der en matrise ganges med tallet 2:
\[2A = 2\begin{bmatrix} 2 & 6 & -5 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 12 & -10 \\ 0 & 6 & 8 \end{bmatrix}\]
Produktet av de to matrisene A og B er \[ A\cdot B=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22}+a_{11}b_{12} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}+a_{21}b_{12} \end{bmatrix}\]
To matriser kan bare multipliseres sammen dersom antall kolonner i den første matrisen er lik antall rader i den andre matrisen.
Matrisemultiplikasjon følger ikke den kommutative lov, slik alminnelig multiplikasjon med tall gjør. Dette vil si at for matriser er A·B generelt forskjellig fra B·A.
En kvadratisk matrise med 1-tall langs hoveddiagonalen og 0-er på alle de andre plassene kalles en identitetsmatrise og skrives slik: \[ I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]
Identitetsmatrisen har den egenskapen at for alle matriser A der multiplikasjonen er definert, er I·A = A og A·I = A.
En av operasjonene som kan utføres på matriser er transposisjon. Når en matrise blir transponert, er resultatet en matrise med rader lik den opprinnelige matrisens kolonner og omvendt. Det vil si at for en matrise \[ A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \] blir den transponerte matrisen:\[ A^T=\begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix} \]
En matrise kan også inverteres. Til en matrise \(A\) dannes da den inverse matrisen \(A^{-1}\) slik at \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).
Regning med determinanter er en grunnleggende del av matriseregningen.
Matriseteori ble grunnlagt av William R. Hamilton og Arthur Cayley og har siden fått stor betydning i praktisk talt alle grener av matematikk, for eksempel i statistikk, kvantemekanikk og lineær algebra. Spesielt leder begrepet lineær avbildning naturlig til matrisebegrepet, på den måten at produktet av to matriser vil svare til en suksessiv anvendelse av de to tilsvarende lineære avbildningene.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.