Sinussetningen er et matematisk uttrykk innen trigonometrien som sier at forholdet mellom sinus til hver av vinklene i en trekant og lengden til den motsatte siden i trekanten er konstant.
sinussetningen
En trekant med vinkler \(A\), \(B\) og \(C\) og sider \(a\), \(b\) og \(c\). Side \(a\) er motstående side til vinkel \(A\), side \(b\) er motstående side til vinkel \(B\) og side \(c\) er motstående side til vinkel \(C\).
Sinussetningen
Hvis \(A\), \(B\), og \(C\) er vinklene i en trekant, og \(a\), \(b\), og \(c\) er de motstående sidene til hver av disse vinklene, så sier sinussetningen:
\[\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}\]
Side \(a\) er motstående side til vinkel \(A\), side \(b\) er motstående side til vinkel \(B\) og side \(c\) er motstående side til vinkel \(C\). Hvis for eksempel to sider og én vinkel er kjent i en trekant, kan sinussetningen brukes til å regne ut lengden på sidene og størrelsen på vinklene som mangler. Det samme gjelder hvis én side og to vinkler er kjent fra før.
Eksempel
En trekant der to vinkler og én side er kjent. Vinkel \(A\) er \(48^{\circ}\), vinkel \(B\) er \(72^{\circ}\) og lengden på siden \(a\) er 9 cm.
En trekant har to kjente vinkler, \(A = 48^{\circ}\) og \(B = 72^{\circ}\), og én kjent side \(a = 9 \text{ cm}\) som ligger motsatt vinkel \(A\).
Sinussetningen gir lengden til side \(b\):
\[ \begin{aligned} \frac{b}{\sin (B)} &= \frac{a}{\sin (A)} \\ \Rightarrow \quad b &= \frac{a}{\sin(A)} \cdot \sin(B) \approx 11,5 \text{ cm} \end{aligned} \]
Summen av vinklene i en trekant er \(180^{\circ}\). Derfor er vinkel \(C = 180^{\circ} – A – B = 60^{\circ}\).
Sinussetningen gir lengden til side \(c\):
\[ \begin{aligned} \frac{c}{\sin (C)} &= \frac{a}{\sin (A)} \\ \Rightarrow \quad c &= \frac{a}{\sin(A)} \cdot \sin(C) \approx 10,5 \text{ cm} \end{aligned} \]
Diameteren i en sirkel
\[\theta = 2B\]
og lengden til korden er \[\begin{aligned}b &= 2r \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\ \Rightarrow \quad b &= 2r \sin(B) \end{aligned}\]
Sinussetningen kan brukes til å finne diameteren i trekantens omskrevne sirkel. En omskreven sirkel er en sirkel som er slik at alle hjørnene i trekanten ligger på sirkelbuen.
Forholdet mellom sinus til en vinkel og dens motstående side er lik diameteren i trekantens omskrevne sirkel:
\[d = \frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}\]
Hver av sidene \(a\), \(b\), og \(c\) er korder i trekantens omskrevne sirkel.
Sentralvinkelen til korden \(b\) ligger i sentrum av sirkelen og er dobbelt så stor som perifervinkelen \(B\). Lengden til korde \(b\) er derfor:
\[b = 2r \sin(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{\sin(B)} = 2r\]
der \(r\) er sirkelens radius og \(d = 2r\) er sirkelens diameter.
Bevis for sinussetningen
Siden høyden i en trekant står vinkelrett på grunnlinjen, dannes en rettvinklet trekant. Sinus kan derfor brukes til å finne et uttrykk for høyden:
\[\sin(B) = \frac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenus}} = \frac{h}{c}\]
som gir:
\[h = c \sin(B)\]
Sinussetningen kan bevises på flere måter. De vanligste bevisene bruker trigonometri og arealer.
Bevis med trigonometri
Hvis side \(a\) velges som grunnlinje, står høyden vinkelrett på grunnlinjen og deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Sinus er motstående katet delt på hypotenusen:
\[ \sin(B) = \frac{h}{c} \quad \text{ og } \quad \sin(C) = \frac{h}{b} \]
som gir to uttrykk for høyden:
\[ h = c \sin(B) = b \sin(C) \]
Når ligningen deles på \(\sin(B)\) og \(\sin(C)\) oppnås deler av sinussetningen:
\[\frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}\]
Hvis side \(b\) eller \(c\) velges som grunnlinje, oppnås resten av sinussetningen. Da er beviset gjennomført.
Bevis med areal
Arealet til en trekant er halvparten av grunnlinjen multiplisert med høyden. Hvis side \(a\) velges som grunnlinje, er høyden \(h = c\sin(B)\). Derfor blir arealet:
\[\text{Areal} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2}ac\sin(B)\]
Hvis i stedet side \(b\) eller \(c\) velges som grunnlinje kan arealet skrives på flere måter:
\[\text{Areal} = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B) = \frac{1}{2}ab\sin(C)\]
Hele ligningen kan multipliseres med to og deles på \(abc\):
\[\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}\]
Siden forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden til motstående side er konstant, må sinussetningen stemme. Da er beviset gjennomført.
Historikk
Sinussetningen har røtter som går langt tilbake i utviklingen av geometri og astronomi.
På 200-tallet hadde greske astronomer kjennskap til teori om lengden av korder i en sirkel. Et eksempel er Ptolemaios' sats som kan brukes til å utlede sinussetningen.
Mye av overgangen fra kordetabeller til sinusfunksjonen foregikk på 500- og 600-tallet i India der matematikere som Aryabhata og Brahmagupta studerte halvkorder som tilsvarer vår moderne sinus.
Den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi var den første til å skrive om trigonometri uavhengig av astronomi. På 1200-tallet skrev han at i en trekant er forholdet mellom sidene lik forholdet mellom sinusverdien til vinklene av de motsatte sidene.
Fra 1800-tallet og fremover ble sinussetningen en grunnleggende del av elementær trigonometri, og brukes nå i alt fra navigasjon til datagrafikk.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.