Tangens er i matematikk en trigonometrisk funksjon som blant annet brukes til å beskrive trekanter. Det matematiske symbolet for tangens er \(\tan\).
tangens
forkortes tan, tidligere tg
De tre vanligste trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens.
Funksjonen tangens tar en vinkel som argument. Når man i matematikk vil skrive «tangens til vinkelen \(v\)» skriver man \(\tan(v)\).
\[\tan(v) = \frac{H}{L}\]
Derfor kan vi finne høyden ved å gange halve takbredden med tangens til vinkelen:
\[\text{H} = L \cdot \tan(v)\]
Hvis vinkelen er \(v = 30^{\circ}\) og halve takbredden er \(L = 3,3 \text{ m}\), blir høyden omtrent 1,9 meter:
\[H = 3,3 \text{ m} \cdot \tan(30^{\circ}) \approx 1,9 \text{ m}\]
I en rettvinklet trekant er hypotenusen den lengste siden i trekanten. De to andre sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Hosliggende katet er den siden i trekanten som ligger inntil vinkelen, og motstående katet er den siden i trekanten som ligger motsatt vinkelen.
Tangens til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som lengden til vinkelens motstående katet delt på lengden til vinkelens hosliggende katet.
\[\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\]
Når motstående katet er liten, blir også \(\tan(v)\) liten. Når hosliggende katet er liten, blir \(\tan(v)\) stor.
Tangens til en vinkel er også forholdet mellom sinus til vinkelen og cosinus til vinkelen:
\[\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\]
Alle vinkler kan måles i enten radianer eller grader. Tangens av noen vinkler har eksakte verdier.
| \(v\) (grader) | \(v\) (radianer) | \(\sin(v)\) | \(\cos(v)\) | \(\tan(v)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^{\circ}\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
| \(45^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(90^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | - |
I enhetssirkelen er radianer lengden langs sirkelbuen.
Siden tangens til en vinkel er sinus til vinkelen delt på cosinus til vinkelen, er tangens til vinkelen lik null når sinus til vinkelen er null. Tangens til vinkelen eksisterer ikke når cosinus til vinkelen er null, fordi man ikke kan dele noe på null.
Før kalkulatorene ble vanlig, var eksakte verdier av tangens helt nødvendig for å regne ut tangensverdien til vinkler. Selv om man i dag har kalkulatorer, er det lurt å bruke eksakte verdier når man kan, for å få helt nøyaktige resultat og unngå avrundingsfeil.
Funksjonen til tangens kan defineres ut fra sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen:
\[f(x) = \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}\]
Funksjonen har vertikale asymptoter der cosinusfunksjonen er lik null slik at tangensfunksjonen ikke er definert. Dersom \(x\) er målt i radianer, er asymptotene i \(x =\frac{1}{2} \pi(2n + 1)\), der \(n\) er et positivt eller negativt heltall.
Tangensfunksjonen er periodisk fordi grafen til tangens repeterer seg selv flere ganger når \(x\) øker.
For å tegne grafen markeres vinkelen langs den horisontale aksen og tangens til vinkelen langs den vertikale aksen i et koordinatsystem.
Tangensfunksjonen kan skrives som en matematisk rekke. Jo flere ledd som tas med i rekken, jo mer nøyaktig blir resultatet.
Tangens som en rekke kan skrives slik:
\[\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...\]
Denne formelen gjelder bare når vinkelen måles i radianer.
Når kalkulatoren skal regne ut en tangensverdi, er det denne formelen den bruker. Hvis vi for eksempel slår inn tangens til \(\pi/8\) på kalkulatoren får vi:
\[\tan\left( \frac{\pi}{8}\right) = 0,4142135624 \cdots\]
Kalkulatoren bruker mange nok ledd i rekken til å kunne gi de desimalene den viser. Man kan selv finne et estimat ved å bruke for eksempel tre ledd i rekken:
\[\tan\left( \frac{\pi}{8}\right) \approx \frac{\pi}{8} + \frac{\left(\frac{\pi}{8}\right)^3}{3} + \frac{2\left(\frac{\pi}{8}\right)^5}{15} = 0,4141 \cdots \]
Sammenlignet med den nøyaktige verdien, gir tre ledd samme svar med tre desimalers nøyaktighet, noe som er mer enn godt nok for de aller fleste bruksområdene.
For små vinkler er tangens til vinkelen nesten det samme som vinkelen i radianer. Denne tilnærmingen brukes mye innen fysikk, optikk og teknologi for å forenkle ligningene.
\[\tan(v) = \frac{H}{L}\]
For å finne vinkelen brukes den inverse funksjonen til tangens:
\[v = \tan^{-1} \left( \frac{H}{L} \right)\]
Hvis halve takbredden er \(L = 3,5 \text{ m}\) lang og høyden er \(H = 2,1 \text{ m}\), må vinkelen være omtrent 31 grader:
\[v = \tan^{-1} \left( \frac{2,1 \text{ m}}{3,5 \text{ m}} \right) \approx 31^{\circ}\]
Den inverse funksjonen til tangens skrives på flere måter, enten \(\tan^{-1}(x)\), \(\mathrm{atan} (x)\) eller \(\arctan(x)\).
For å definere en invers funksjon av \(\tan(x)\), må definisjonsmengden begrenses til \(x\)-verdier som ikke gir samme cosinusverdi, det vil si når \(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \).
Den inverse funksjonen til \(f(x) = \tan(x)\) når \(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \) er:
\[f^{-1}(x) = \tan^{-1}(x)\]
Hvis man for eksempel vil finne den \(x\)-verdien som gir at \(\tan(x) = 1\) på intervallet \(-90^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ} \), kan man bruke den inverse funksjonen:
\[f^{-1}(1) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}\]
\[\begin{aligned} \sin(v) &= \frac{b}{c} \\ \cos(v) &= \frac{a}{c} \\ \tan(v) &= \frac{b}{a} \end{aligned}\]
Side \(a\) kalles hosliggende katet siden den ligger inntil vinkelen \(v\), \(b\) kalles motstående katet siden den ligger motsatt vinkelen \(v\) og \(c\) kalles hypotenusen.
De tre vanligste trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens:
\[ \begin{aligned} \sin(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \\ \cos(v) &= \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} \\ \tan(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \end{aligned}\]
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.