Cosinus er i matematikk en trigonometrisk funksjon som blant annet brukes til å beskrive trekanter, bølger, svingninger og periodiske fenomener. Det matematiske symbolet for cosinus er \(\cos\).
cosinus (matematikk)
Cosinus til vinkelen \(v\) er lengden til side \(a\) delt på lengden til side \(c\). \[\cos(v) = \frac{a}{c}\] Side \(c\) kalles hypotenusen og side \(a\) kalles hosliggende katet fordi den er en katet som ligger inntil vinkel \(v\).
Cosinus kan brukes til å regne ut hvor langt en person som går oppover en bakke også har beveget seg fremover (langs linjen \(x\)). Hvor langt personen har gått fremover (\(x\)) og skrått opp langs bakken (\(L\)) danner en rettvinklet trekant sammen med høydeendringen. Coisnus til bakkens vinkel er forholdet mellom avstanden fremover og avstanden skrått opp langs bakken:
\[\cos(v) = \frac{x}{L}\]
Dette gir et uttrykk for hvor langt personen har gått fremover:
\[\text{x} = L \cdot \cos(v)\]
Hvis vinkelen er \(v = 30^{\circ}\) og personen har gått \(L = 100 \text{ m}\) skrått opp langs bakken, er avstanden fremover omtrent 87 meter:
\[x = 100 \text{ m} \cdot \cos(30^{\circ}) \approx 87 \text{ m}\]
Cosinus i trekanter
I en rettvinklet trekant er hypotenusen den lengste siden i trekanten. De to andre sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Hosliggende katet er den siden i trekanten som ligger inntil vinkelen.
Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som lengden til vinkelens hosliggende katet delt på lengden til hypotenusen.
\[\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}\]
Siden katetene ikke kan være lengre enn hypotenusen, må vinkelen \(v\) være mellom 0° og 90°, og cosinus til vinkelen må være mellom null og én.
Eksakte verdier av cosinus
Alle vinkler kan måles i enten radianer eller grader. Cosinus av noen vinkler har eksakte verdier.
| \(v\) (grader) | \(v\) (radianer) | \(\cos(v)\) |
|---|---|---|
| \(0^{\circ}\) | \(0\) | \(1\) |
| \(30^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(45^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| \(60^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(90^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(0\) |
Før kalkulatorene ble vanlig, var eksakte verdier av cosinus helt nødvendig for å regne ut cosinusverdien til vinkler. Selv om man i dag har kalkulatorer, er det lurt å bruke eksakte verdier når man kan, for å få helt nøyaktige resultat og unngå avrundingsfeil.
Cosinus i enhetssirkelen
Cosinus til vinkelen \(v\) er definert som den horisontale koordinaten til punktet på sirkelen. Enhetssirkelen viser at flere vinkler kan gi samme cosinusverdi, fordi den horisontale koordinaten er den samme. For eksempel er \(\cos(60^{\circ}) = \cos(-60^{\circ}) = 0,5\). Generelt er: \[\cos(v) = \cos(-v)\]
Dersom vinkelen øker med 360 grader, får cosinusverdien samme verdi fordi punktet på enhetssirkelen blir akkurat det samme: \[\cos(v + 360^{\circ} \cdot n) = \cos(v)\]
der \(n\) er et positivt eller negativt heltall.
Enhetssirkelen kan brukes til å finne cosinus til alle vinkler, inkludert vinkler som er mer enn 90° og vinkler som er negative. I enhetssirkelen er radianer lengden langs sirkelbuen.
Vinkelen i enhetssirkelen måles fra den positive horisontale aksen og mot klokken til man møter en linje som går fra origo til et punkt på enhetssirkelen. Cosinus til denne vinkelen er definert som den horisontale koordinaten til punktet.
Hvis for eksempel vinkelen er \(60^{\circ}\), er den horisontale lengden i enhetssirkelen 0,5. Det vil si at cosinus til 60 grader er lik 0,5. Dette skrives \(\text{cos} (60^{\circ}) = 0,5\).
- Les mer om enhetssirkelen
Enhetssirkelen har radius én. En rettvinklet trekant i enhetssirkelen får dermed hypotenus lik én. Cosinus til vinkel \(v\) er bredden \(a\) delt på lengden til hypotenusen, som er én:\[\cos(v) = \frac{a}{1} = a\] Derfor kan vi lese av cosinusverdien på \(x\)-aksen.
Cosinuskurven
Cosinusfunksjonen \(f(x) = \cos(x)\) hvor vinkelen \(x\) kan måles enten i radianer eller i grader. Legg merke til at flere vinkler har samme cosinus-verdi, for eksempel er \(\cos(0^{\circ}) = \cos(360^{\circ})\) og \(\cos(-90^{\circ}) = \cos(90^{\circ})\).
Kurven til funksjonen cosinus er \(f(x) = \cos(x)\). Den kalles cosinuskurven. Det er en bølge som er relatert til sinuskurven.
Cosinuskurven er periodisk fordi den repeterer seg selv flere ganger når \(x\) øker.
For å tegne cosinuskurven markeres vinkelen langs den horisontale aksen og cosinus til vinkelen langs den vertikale aksen i et koordinatsystem.
- Les mer om sinuskurven
Når vinkelen øker i enhetssirkelen, endres den horisontale koordinaten, det vil si cosinus-verdien til vinkelen. Dermed kan vi lage en funksjon der vinkelen er på den horisontale aksen og cosinus-verdien er på den vertikale aksen.
Cosinussetningen
Cosinussetningen kalles også den utvidede pytagorassetningen. Den gir en sammenheng mellom sidene i en trekant. Trekanten trenger ikke å være rettvinklet.
Hvis \(a\), \(b\), og \(c\) er sidene i en trekant og \(A\) er vinkelen på motsatt side \(a\), så sier cosinussetningen:
\[a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(A)\]
Cosinus som en rekke
Illustrasjonen viser grafen til \(y = \cos(x)\) og grafen til \(y = 1\). Når \(x\)-verdiene er nær null, er disse to grafene veldig like. For små vinkler er derfor \(\cos(x) \approx 1\) en helt grei tilnærming. Når \(x\) er lengre vekk fra null, øker forskjellen mellom grafene.
Cosinusfunksjonen kan skrives som en matematisk rekke. Jo flere ledd som tas med i rekken, jo mer nøyaktig blir resultatet.
Cosinus som en rekke skrives slik:
\[\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + ...\]
Denne formelen gjelder bare når vinkelen måles i radianer. Utropstegnet betyr fakultet, det vil si \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).
Når kalkulatoren skal regne ut en cosinusverdi, er det denne formelen den bruker. Hvis vi for eksempel slår inn cosinus til \(\pi/8\) på kalkulatoren får vi:
\[\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) = 0,9238795325 \dots\]
Kalkulatoren bruker mange nok ledd i rekken til å kunne gi de desimalene den viser. Man kan selv finne et estimat ved å bruke for eksempel tre ledd i rekken:
\[\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) \approx 1 – \frac{\left(\frac{\pi}{8}\right)^2}{2!} + \frac{\left(\frac{\pi}{8}\right)^4}{4!} = 0,9238846121 \cdots \]
Sammenlignet med den nøyaktige verdien, gir tre ledd samme svar med fem desimalers nøyaktighet. Fire ledd gir syv desimalers nøyaktighet som er mer enn godt nok for de aller fleste bruksområdene.
For små vinkler er cosinus til vinkelen nesten én. Denne tilnærmingen brukes mye innen fysikk, optikk og teknologi for å forenkle ligningene.
- Les mer om rekker og Taylors formel
Invers cosinus
Cosinus invers kan brukes til å regne ut hvor bratt en bakke er. Hvor langt en person har gått skrått opp langs bakken (\(L\)) og hvor langt personen har gått fremover (\(x\)) danner en rettvinklet trekant sammen med høydeendringen. Cosinus til bakkens vinkel er forholdet mellom avstanden fremover og avstanden langs bakken:
\[\cos(v) = \frac{x}{L}\]
Den inverse funksjonen kan gi vinkelen:
\[v = \cos^{-1} \left( \frac{x}{L} \right)\]
Hvis avstanden skrått opp langs bakken er \(L = 120 \text{ m}\) og det tilsvarer \(x = 100 \text{ m}\) fremover, må vinkelen være omtrent 34 grader:
\[v = \cos^{-1} \left( \frac{100 \text{ m}}{120 \text{ m}} \right) \approx 34^{\circ}\]
Den inverse funksjonen til cosinus skrives på flere måter; enten \(\cos^{-1}(x)\), \(\mathrm{acos} (x)\) eller \(\arccos(x)\).
For å definere en invers funksjon av \(\cos(x)\), må definisjonsmengden begrenses til \(x\)-verdier som ikke gir samme cosinusverdi, det vil si når \(0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ} \).
Den inverse funksjonen til \(f(x) = \cos(x)\) når \(0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ} \) er:
\[f^{-1}(x) = \cos^{-1}(x)\]
Hvis man for eksempel vil finne den \(x\)-verdien som gir at \(\cos(x) = 0,5\) på intervallet \(0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ} \), kan man bruke den inverse funksjonen:
\[f^{-1}(0,5) = \cos^{-1}(0,5) = 60^{\circ}\]
- Les mer om inverse trigonometriske funksjoner
Andre trigonometriske funksjoner
\[\begin{aligned} \sin(v) &= \frac{b}{c} \\ \cos(v) &= \frac{a}{c} \\ \tan(v) &= \frac{b}{a} \end{aligned}\]
Side \(a\) kalles hosliggende katet siden den ligger inntil vinkelen \(v\), \(b\) kalles motstående katet siden den ligger motsatt vinkelen \(v\) og \(c\) kalles hypotenusen.
De tre vanligste trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens:
\[ \begin{aligned} \sin(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \\ \cos(v) &= \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} \\ \tan(v) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \end{aligned}\]
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.